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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Gegeben ist f(x)= [mm] \bruch{x|x|}{1+x^2}
[/mm]
Wo ist sie stetig, wo ist sie differenzierbar?
Zeige: Streng monoton wachsend, bijektive Abbildung auf Intervall [-1,1]
Berechne die Umkehrfunktion von f(x).
Berechne die Ableitung g'(y), y aus [-1,1] \ {0} |
hallo zusammen.
hab dazu mal eine frage. vielleicht kann mir jemand helfen.
1. ist es richtig, das ich die funktion mal aufgeteilt habe und die fälle x positiv und x negativ unterschieden habe? dann bekomm ich 2 teilfunktionen. dann wusste ich aber nicht wo ich jetzt die 0 dazugebe, da es aber glaube ich egal ist hab ich sie zum positiven teil gegeben.
2. die stetigkeit und differenzierbarkeit war nicht schwer. das hab ich geschafft.
3 . strenge monotonie war auch nicht schwer, da die erste ableitung immer positiv ist.
4. bei der bijektivität bin ich mir jetzt nicht sicher. ich weiß das wenn ich x gegen + und - unendlich laufen lasse, die funktion gegen +1 und -1 läuft. aus der monotonie erhält man die injektivität oder? eigentlich müsste hier ja aus der stetigkeit die surjektivität folgen was ja dann zur bijektivität reicht oder?
5. wie man jetzt die umkehrfunktion berechnet und deren ableitung weiß ich nicht. könnte mir da jemand helfen?
danke im voraus.
grüße
felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 08.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist f(x)= [mm]\bruch{x|x|}{1+x^2}[/mm]
> Wo ist sie stetig, wo ist sie differenzierbar?
> Zeige: Streng monoton wachsend, bijektive Abbildung auf
> Intervall [-1,1]
> Berechne die Umkehrfunktion von f(x).
> Berechne die Ableitung g'(y), y aus [-1,1] \ {0}
> hallo zusammen.
> hab dazu mal eine frage. vielleicht kann mir jemand
> helfen.
>
> 1. ist es richtig, das ich die funktion mal aufgeteilt habe
> und die fälle x positiv und x negativ unterschieden habe?
> dann bekomm ich 2 teilfunktionen. dann wusste ich aber
> nicht wo ich jetzt die 0 dazugebe, da es aber glaube ich
> egal ist hab ich sie zum positiven teil gegeben.
>
> 2. die stetigkeit und differenzierbarkeit war nicht schwer.
> das hab ich geschafft.
>
> 3 . strenge monotonie war auch nicht schwer, da die erste
> ableitung immer positiv ist.
>
> 4. bei der bijektivität bin ich mir jetzt nicht sicher.
> ich weiß das wenn ich x gegen + und - unendlich laufen
> lasse, die funktion gegen +1 und -1 läuft. aus der
> monotonie erhält man die injektivität oder? eigentlich
> müsste hier ja aus der stetigkeit die surjektivität
> folgen was ja dann zur bijektivität reicht oder?
>
> 5. wie man jetzt die umkehrfunktion berechnet und deren
> ableitung weiß ich nicht. könnte mir da jemand helfen?
Hallo,
du müsstest die Funktionsgleichung nach x umstellen und dann x und y vertauschen.
Nehmen wir mal den Fall x>0, also |x|=x :
Aus [mm]y=\bruch{x^2}{1+x^2}[/mm] folgt [mm]y+x^2*y=x^2[/mm], daraus [mm]y=x^2(1-y)[/mm]. Das kannst du nach x umstellen...
Gruß Abakus
>
> danke im voraus.
> grüße
> felix
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