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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Es sei f(x) = [mm] lnx-\wurzel{x} \quad [/mm] x>0
a) Maxima und Minima bestimmen
b) Wendepunkte bestimmen
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x) [/mm] bestimmen
d) Skizze angeben |
Hallo,
die Ableitungen habe ich bereits bestimmt: [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] und [mm] f''(x)=-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{4x\wurzel{x}}
[/mm]
zu a)
Maxima und Minima:
f'(x)=0
[mm] 0=4x-x^2 \Rightarrow [/mm] x=4 x=0
[mm] f''(4)=-\bruch{1}{4^2}+\bruch{1}{4*4\wurzel{4}}=-\bruch{1}{32} \rightarrow [/mm] Maximum [mm] (4,-\bruch{1}{32}
[/mm]
zu b)
Wendestelle:
[mm] f''(x_w)=0
[/mm]
[mm] 0=-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{4x\wurzel{x}}
[/mm]
0= [mm] -4x\wurzel{x}+x^2
[/mm]
Irgendwie weiß ich an der Stelle nicht weiter (wegen [mm] x*\wurzel{x} [/mm] und meine Ergebnisse sehen auch merkwürdig
aus irgendwie.
zu c) ich finde gerade keinen Ansatz, über den man den Limes offensichtlich sehen würde. :(
Für nen Tipp bzw. eine Korrektur wär ich echt dankbar.
lg
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mo 21.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Klemme,
> Es sei f(x) = [mm]lnx-\wurzel{x} \quad[/mm] x>0
> a) Maxima und Minima bestimmen
> b) Wendepunkte bestimmen
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)[/mm] bestimmen
> d) Skizze angeben
> Hallo,
>
> die Ableitungen habe ich bereits bestimmt:
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] und
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{4x\wurzel{x}}[/mm]
>
> zu a)
> Maxima und Minima:
> f'(x)=0
> [mm]0=4x-x^2 \Rightarrow[/mm] x=4 x=0
>
> [mm]f''(4)=-\bruch{1}{4^2}+\bruch{1}{4*4\wurzel{4}}=-\bruch{1}{32} \rightarrow[/mm]
> Maximum [mm](4,-\bruch{1}{32}[/mm]
Der y-Wert des Maximums ist nicht $f''(4)$, sondern $f(4)$.
>
> zu b)
> Wendestelle:
> [mm]f''(x_w)=0[/mm]
> [mm]0=-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{4x\wurzel{x}}[/mm]
> 0= [mm]-4x\wurzel{x}+x^2[/mm]
Klammere mal [mm] x\wurzel{x} [/mm] aus. Das kann ja nicht Null werden.
>
> Irgendwie weiß ich an der Stelle nicht weiter (wegen
> [mm]x*\wurzel{x}[/mm] und meine Ergebnisse sehen auch merkwürdig
> aus irgendwie.
>
> zu c) ich finde gerade keinen Ansatz, über den man den
> Limes offensichtlich sehen würde. :(
>
Betrachte [mm] \ln(x)-\wurzel{x}=\wurzel{x}(\bruch{\ln(x)}{\wurzel{x}}-1) [/mm] und überlege gegen was der Bruch (mit dem Satz von l'Hospital) bzw. dann die Klammer geht.
> Für nen Tipp bzw. eine Korrektur wär ich echt dankbar.
>
> lg
>
> Klemme
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 Mo 21.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hi Walde,
danke für die Antwort, und das um die Uhrzeit. :)
>
> Der y-Wert des Maximums ist nicht [mm]f''(4)[/mm], sondern [mm]f(4)[/mm].
also Maximum(4;0)
> >
> > zu b)
> > Wendestelle:
> > [mm]f''(x_w)=0[/mm]
> > [mm]0=-\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{4x\wurzel{x}}[/mm]
> > 0= [mm]-4x\wurzel{x}+x^2[/mm]
>
> Klammere mal [mm]x\wurzel{x}[/mm] aus. Das kann ja nicht Null
> werden.
[mm] 0=x\wurzel{x}(-4+\bruch{x^2}{x\wurzel{x}})=-4+ \bruch{x}{\wurzel{x}} \qquad |*\wurzel{x}/-x
[/mm]
[mm] -x=4*\wurzel{x} \qquad |^2
[/mm]
[mm] x^2=16x \qquad [/mm] |:x
x=16
[mm] \Rightarrow [/mm] Wendestelle(16;1,23)
> > zu c) ich finde gerade keinen Ansatz, über den man den
> > Limes offensichtlich sehen würde. :(
> >
>
> Betrachte
> [mm]\ln(x)-\wurzel{x}=\wurzel{x}(\bruch{\ln(x)}{\wurzel{x}}-1)[/mm]
> und überlege gegen was der Bruch (mit dem Satz von
> l'Hospital) bzw. dann die Klammer geht.
mit L´Hospital --> [mm] f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] g'=\bruch{2}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=0
[/mm]
[mm] also\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{x}(\bruch{\ln(x)}{\wurzel{x}}-1)=\infty+(0-1)=\infty
[/mm]
Das sieht jetzt hoffentlich besser aus.
lg
Klemme
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Hallo Klemme,
wenn du stumpf alles zitierst, ist es schwieirig, deine Frage zu erkennen.
Zitiere also mit mehr Bedacht und lösche Unnötiges weg!
> Weiß ich irgendwie grad auch nicht..
> Maximum ist (4;-0,61)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ok. also bleibts bei Wendepunkt [mm]x_w=16[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Das hat Al doch erklärt [mm] $x_w=16$ [/mm] ist Wendestelle, der Wendepunkt ist $(16,f(16))$ <-- ausrechnen ...
> [mm](\bruch{\ln(x)}{\wurzel{x}}-1)=\infty*(0-1)=-\infty[/mm] ?
Ja!
> Und wie siehts jetzt aus?
Unübersichtlich. aber richtig!
>
> lg
>
> Klemme
>
Gruß
schachuzipus
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
