Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Diskutieren Sie die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{ln(x)} [/mm] |
Hallöchen ich stelle mal vor, was ich habe
Definitionsbereich: x>0 (x=0 und x<0 kann nicht gewählt werden, Logarithmusdefinition)
Wertebereich: y<0, y>e
Minimum: (e;e)
Maximum: nicht vorhanden
Wendepunkt: [mm] (e^{2}; \bruch{e^{2}}{2})
[/mm]
Polstelle: x=1
mir ist nicht klar
1. wie kann ich den Wertebereich "rechnerisch" ermitteln, ich habe es geplottet und abgelesen
2. stimmen meine Ergebnisse bis hier
3. hat die Funktion eine Asymptote, wenn ja wie kann ich die ermitteln
ich danke euch
|
|
| |
|
Hallo,
> Diskutieren Sie die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x}{ln(x)}[/mm]
> Hallöchen ich stelle mal vor, was ich habe
>
> Definitionsbereich: x>0 (x=0 und x<0 kann nicht gewählt
> werden, Logarithmusdefinition)
> Wertebereich: y<0, y>e
> Minimum: (e;e)
> Maximum: nicht vorhanden
> Wendepunkt: [mm](e^{2}; \bruch{e^{2}}{2})[/mm]
> Polstelle: x=1
>
> mir ist nicht klar
> 1. wie kann ich den Wertebereich "rechnerisch" ermitteln,
> ich habe es geplottet und abgelesen
Durch das Berechnen von Min. und Max. und das Verhalten für [mm] x\to\pm\infty [/mm] bzw. hier [mm] $x\to [/mm] 0$ solltest du einiges über den Wertebereich erfahren können.
> 2. stimmen meine Ergebnisse bis hier
Da du den Funktionsgraphen ohnehin schon geplottest hast, kannst du doch dort auch die anderen Ergebnisse ablesen.
Leider hast du ja keine Rechnungen mitgeschrieben.
> 3. hat die Funktion eine Asymptote, wenn ja wie kann ich
> die ermitteln
>
Ermittle das Verhalten an den Rändern und Polstellen, also hier [mm] x\to\infty [/mm] und [mm] $\to [/mm] 0$.
> ich danke euch
>
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Danke für die Hinweise
was ich vergessen habe, beim Definitionsbereich gehört noch x ungleich 1 dazu, wegen Division durch Null
jetzt stelle ich meine gesamten Rechnungen vor
meine Ableitungen
[mm] f'(x)=\bruch{ln(x)-1}{ln^{2}(x)}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-ln^{2}(x)+2*ln(x)}{x*ln^{4}(x)}
[/mm]
Extremstelle
0=ln(x)-1
x=e
[mm] f''(e)=\bruch{1}{e}>0 [/mm] Minimum
f(e)=e
Wendepunkt
[mm] 0=-ln^{2}(x)+2*ln(x)
[/mm]
[mm] x=e^{2}
[/mm]
[mm] f(e^{2})=\bruch{e^{2}}{2}
[/mm]
stimmen die vorgestellten Rechnungen?
Meine Überlegung zum Wertebereich
1. aus dem Minimum folgt ja y>e
2. für 0<x<1 ist bei der Funktion [mm] \bruch{x}{ln(x)} [/mm] der Zähler positiv, der Nenner negativ, also ist y<0
linksseitiger Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x}{ln(x)}=-\infty
[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x}{ln(x)}=+\infty
[/mm]
stimmen auch diese Rechnungen?
jetzt fehlt mir noch die Asymptote(n), eine sollte x=1 sein, gibt es weitere?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Zwinkerlippe,
> Danke für die Hinweise
> was ich vergessen habe, beim Definitionsbereich gehört
> noch x ungleich 1 dazu, wegen Division durch Null
> jetzt stelle ich meine gesamten Rechnungen vor
> meine Ableitungen
>
> [mm]f'(x)=\bruch{ln(x)-1}{ln^{2}(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-ln^{2}(x)+2*ln(x)}{x*ln^{4}(x)}[/mm]
Klammere im Zähler noch einmal [mm]\ln(x)[/mm] aus und kürze es gegen ein [mm]\ln(x)[/mm] im Nenner weg!
>
> Extremstelle
>
> 0=ln(x)-1
>
> x=e
>
> [mm]f''(e)=\bruch{1}{e}>0[/mm] Minimum
>
> f(e)=e
>
> Wendepunkt
>
> [mm]0=-ln^{2}(x)+2*ln(x)[/mm]
>
> [mm]x=e^{2}[/mm]
Hast du dich davon überzeugt, dass [mm]f'''(e^2)\neq 0[/mm] ist?
>
> [mm]f(e^{2})=\bruch{e^{2}}{2}[/mm]
>
> stimmen die vorgestellten Rechnungen?
Ja, gut soweit!
>
> Meine Überlegung zum Wertebereich
>
> 1. aus dem Minimum folgt ja y>e
Zumindest in einer Umgebung um [mm]e[/mm]
> 2. für 0<x><1 ist bei der Funktion [mm]\bruch{x}{ln(x)}[/mm] der
> Zähler positiv, der Nenner negativ, also ist y<0
Gut!
>
> linksseitiger Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x}{ln(x)}=-\infty[/mm]
> rechtsseitiger Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x}{ln(x)}=+\infty[/mm]
>
> stimmen auch diese Rechnungen?
Ja! Du könntest noch schauen, was für [mm]x\to 0[/mm] rechtsseitig passiert ...
>
> jetzt fehlt mir noch die Asymptote(n), eine sollte x=1
> sein, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du darauf?
Edit: ich habe falsch gelesen und es als $y=1$ interpretiert, x=1 stimmt natürlich, habe ich ja weiter unten auch geschrieben 
Was passiert denn für riesengroße x? Mit anderen Worten: Wie verhält sich der Graph von f im Unendlichen?
Untersuche mal [mm]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)[/mm]
> gibt es weitere?
Nein, nur die vertikale bei [mm]x=1[/mm] (also eine Polstelle)
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
</x>
|
|
|
| |
|
Erneut ein großes Dankeschön, will ich nun den Rest vorstellen
wenn ich in der 2. Ableitung ln(x) kürze, wird die 3. etwas leichter
[mm] f'''(x)=\bruch{ln^{2}(x)-6}{x^{2}*ln^{4}(x)}
[/mm]
[mm] f'''(e^{2})=-\bruch{1}{8*e^{2}}\not=0
[/mm]
ich habe mit Sicherheit gezeigt, an der Stelle [mm] x=e^{2} [/mm] liegt ein Wendepunkt
rechtsseitiger Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x)=0
[/mm]
Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
ich denke mal, bis hier sollte es stimmen?
jetzt zu meinem Problem Asymptote
schachuzipus schreibt dazu
1)
jetzt fehlt mir noch die Asymptote(n), eine sollte x=1
sein,
"Wie kommst du darauf? "
2)
"Nein, nur die vertikale bei x=1 (also eine Polstelle)"
das ist für mich ein Widerspruch
x=1 ist Polstelle, wegen Division durch Null, ln(1)=0, ist mir klar
jetzt immer noch die Frage ist die Gerade x=1 Asymptote? Die Funktion nähert sich ja dieser Gerade immer weiter an, folgt aus dem linkseitigen- und rechtsseitigen Grenzwert für x gegen 1,
Danke Euch
|
|
|
| |
|
Hallo, damit sollte die Aufgabe geklärt sein, letzter Fehler
[mm] f'''(e^{2})=-\bruch{1}{8*e^{4}} [/mm] jetzt sollte es korrekt sein?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Zwinkerlippe!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So stimmt es nun ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
ein großes Dankeschön in das beste Forum Klaus
|
|
|
|
