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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mi 05.05.2010 | | Autor: | nicom88 |
| Aufgabe | Funktion: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{3}-x
[/mm]
a) Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen und skizzieren.
b) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der seiner Normalen (Orthogonale zur Tangente) an der Stelle 0 einschließt |
Heyho, also a ist sehr einfach
Nulstellen:
N (0/0)
N (1,41/0)
N (-1,41/0)
Extremstellen:
T (0,82/-0,55)
H (-0,82/0,55)
Wendestellen:
W (0/0)
Joa der Graph sieht aus win typischer Graph von x³ (gibts da n Fachwort für?)
Nun zu meinen Fragen =) Ich zeichne die Normale ein, und in diesem Fall hat sie einen Winkel von 45° im 1. Quadranten. Wie kann ich es rechnerisch kurz beweisen, dass es 45° sind? Also wenn ich in einer Prüfung sagen sollte, wieso es 45° sind.
Eventuell so: Die Steigung des Graphs zeigt f'(x), bei dem Wendepunkt 0 ist die Steigung 0, d.h. ein winkel von 45°, d.h. dazu ist orthogonal, also 45° Winkel im ersten Quadranten?
Als nächstes muss ich die Gleichung der Geraden (der Normalen) erstellen, oder?
Wie bekomme ich jetzt die Schnittpunkte heraus? Ich muss doch eigentlich nur die beiden Gleichungen gleichsetzen und bekomme dann 2 Schnittpunkte (hoffe ich)
Und als nächstes wird Integriert...
Muss man etwas bei diesen Schnittpunkten beachten bzw. gibt es etwas spezielles zu ihnen zu sagen?
Dankeschön =)
liebe Grüße
Nicom88
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also eine [mm] x^3 [/mm] funktion ist punktsymmetrisch bzw eine ungerade Funktion.
ansonsten gibt es da keine Fachbegriffe denke ich.
das mit dem [mm] 45^{\circ} [/mm] Winkel im 1.Quadranten kannst du zeigen, indem du zeigst , dass die Steigung in diesem Intervall 1 beträgt.
Ansonsten sieht alles gut aus. Mach einfach bis zum ende weiter.
kannst dann ja immer noch prüfen, ob alles richtig ist, indem du die werte einsetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 05.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Funktion: [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^{3}-x[/mm]
> a) Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen und
> skizzieren.
> b) Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der
> Graph mit der seiner Normalen (Orthogonale zur Tangente) an
> der Stelle 0 einschließt
> Heyho, also a ist sehr einfach
> Nulstellen:
> N (0/0)
Falsch.
> N (1,41/0)
Doppelt falsch
> N (-1,41/0)
Doppelt falsch.
Nette Begrüßung, oder?
Hallo erstmal,
Nullstellen sind keine Punkte, haben also keine x- und y-Koordinate.
Nullstellen sind einfach Zahlen die für einen x-Wert stehen.
Die erste Nullstelle ist [mm] x_1=0.
[/mm]
Die zweite Nullstelle ist nur ungefähr 1,41. In Wirklichkeit ist sie [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
>
> Extremstellen:
> T (0,82/-0,55)
> H (-0,82/0,55)
Das sind wieder keine Extremstellen, sondern Extrempunkte.
>
> Wendestellen:
> W (0/0)
Wendepunkt!
In einer Klausur musst du mit gnadenlosen Punktabzügen rechnen.
Gruß Abakus
>
> Joa der Graph sieht aus win typischer Graph von x³ (gibts
> da n Fachwort für?)
>
> Nun zu meinen Fragen =) Ich zeichne die Normale ein, und in
> diesem Fall hat sie einen Winkel von 45° im 1. Quadranten.
> Wie kann ich es rechnerisch kurz beweisen, dass es 45°
> sind? Also wenn ich in einer Prüfung sagen sollte, wieso
> es 45° sind.
> Eventuell so: Die Steigung des Graphs zeigt f'(x), bei dem
> Wendepunkt 0 ist die Steigung 0, d.h. ein winkel von 45°,
> d.h. dazu ist orthogonal, also 45° Winkel im ersten
> Quadranten?
>
> Als nächstes muss ich die Gleichung der Geraden (der
> Normalen) erstellen, oder?
>
> Wie bekomme ich jetzt die Schnittpunkte heraus? Ich muss
> doch eigentlich nur die beiden Gleichungen gleichsetzen und
> bekomme dann 2 Schnittpunkte (hoffe ich)
> Und als nächstes wird Integriert...
>
> Muss man etwas bei diesen Schnittpunkten beachten bzw. gibt
> es etwas spezielles zu ihnen zu sagen?
>
>
> Dankeschön =)
>
>
> liebe Grüße
>
> Nicom88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 06.05.2010 | | Autor: | nicom88 |
Vielen Dank für deine netten Worte =)
Auf dem Aufgabenzettel meines Lehrers steht aber ausdrücklich, ich betone ausdrücklich, Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Diesen Sachverhalt betreffend bezeichne ich dann also bei der Bearbeitung der Aufgabe diese Punkte auch als Stellen, auch wenn ich es anders machen würde...
Trotzdem danke für den Hinweis =)
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Hallo,
und noch eine Ergänzung: es gibt 3 Schnittpunkte zwischen Graph und Normale!
Beachte auch das einige Teilflächen über der x-Achse sind, andere Teilflächen wiederum darunter, Stichwort Teilintegrale und Nullstellen.
Zum Winkel: Die Steigung an der Stelle x=0 ist f'(x=0) = -1 für zwei aufeinander senkrechte Geraden gilt: [mm] m_{1}*m_{2} [/mm] = -1 folglich ist die Steigung der Normale (an der Stelle x=0) 1.
Die Steigug ist gleichzeitig der Tangens des Winkels zwischen positiver x-Achse und Graph. Um auf den Winkel zu kommen brauchst du also: [mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(m_{normale)} [/mm] in diesem Fall [mm] \alpha [/mm] = arctan(1) = 45°
Gruss Christian
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