matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTrigonometrische FunktionenKurvendiskussion
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Trigonometrische Funktionen" - Kurvendiskussion
Kurvendiskussion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Trigonometrische Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvendiskussion: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 24.08.2009
Autor: Hoffmann79

Aufgabe
Untersuchen Sie die Kurven, die durch folgende Gleichungen gegeben sind, auf  lokale Extrema und Wendepunkte

[mm] y=e^{x}sinx [/mm]

Lösung:

Min [mm] (\bruch{7}{4}\pi+2k\pi;-\bruch{1}{\wurzel{2}}e^{\bruch{7}{4}\pi+2k\pi} [/mm]

Max [mm] (\bruch{3}{4}\pi+2k\pi;\bruch{1}{\wurzel{2}}e^{\bruch{3}{4}\pi+2k\pi} [/mm]

WP [mm] (\bruch{\pi}{2}+k\pi;e^{\bruch{\pi}{2}+k\pi*(-1)^k}) [/mm] .
für [mm] k=0,\pm1,\pm2,... [/mm]


Hallo allerseits, ich beginne demnächst ein Studium und habe im Vorfeld ein paar Matheaufgaben bekommen. Nun komme ich bei obiger Aufgabe nicht weiter.
Typische Kurvendiskussion bedeutet ja für Min oder/und Max die ersten beiden Ableitungen bilden und dann 0 setzen.

1ste Ableitung: [mm] y'=e^{x}sinx+e^{x}cosx [/mm]

2te Ableitung: [mm] y''=e^{x}cosx-e^{x}sinx [/mm]

1. [mm] e^{x}sinx+e^{x}cosx=0 [/mm] kann ich auch als [mm] e^{x}*(sinx+cosx) [/mm] schreiben, oder?
Tja, und nun weiss ich nicht mehr weiter, was ich aus der Gleichung machen soll, bekomme keine Werte für x raus bzw. hab keine Idee wie. Logarithmieren, Additionstheorem?


        
Bezug
Kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Mo 24.08.2009
Autor: Loddar

Hallo Hoffmann!


> Typische Kurvendiskussion bedeutet ja für Min oder/und
> Max die ersten beiden Ableitungen bilden und dann 0 setzen.

[ok]

  

> 1ste Ableitung: [mm]y'=e^{x}sinx+e^{x}cosx[/mm]

[ok]

  

> 2te Ableitung: [mm]y''=e^{x}cosx-e^{x}sinx[/mm]

[notok] Da habe ich etwas anderes heraus.

  

> 1. [mm]e^{x}sinx+e^{x}cosx=0[/mm] kann ich auch als
> [mm]e^{x}*(sinx+cosx)[/mm] schreiben, oder?

[ok] Ja.


> Tja, und nun weiss ich nicht mehr weiter, was ich aus der
> Gleichung machen soll, bekomme keine Werte für x raus bzw.
> hab keine Idee wie.

Betrachte beide Faktoren separat mit [mm] $e^x [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $\sin [/mm] x [mm] +\cos [/mm] x \ = \ 0$ .

Bei der 2. Teilgleichung dann z.B. [mm] $\cos [/mm] x$ ausklammern.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mo 24.08.2009
Autor: Hoffmann79

Bei der 2ten Ableitung hab ich mal wieder geschludert. Müsste dann

[mm] y''=e^{x}sinx+e^{x}cosx+e^{x}cosx-e^{x}sinx [/mm] sein,

was ich wiederrum zusammenfassen kann als

[mm] y''=e^{x}(sinx+cossx+cosx-sinx) [/mm] was dann [mm] y''=e^{x}(2cosx) [/mm] sein müsste

Mit dem cosx ausklammern komm ich nicht weiter.

Die 2te Teilgleichung lautet doch sinx+cosx=0. Hängt das mit damit zusammen, dass [mm] sinx=\wurzel{1-cos^2x} [/mm] ist? Könntest du mir das bitte noch etwas näher erläutern. Sorry, aber Trigonometrie war/ist noch nie meine Stärke gewesen.

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Mo 24.08.2009
Autor: Loddar

Hallo Hoffmann!


> was ich wiederrum zusammenfassen kann als
>  
> [mm]y''=e^{x}(sinx+cossx+cosx-sinx)[/mm] was dann [mm]y''=e^{x}(2cosx)[/mm]  sein müsste

[ok]

  

> Mit dem cosx ausklammern komm ich nicht weiter.

[mm] $$\sin x+\cos [/mm] x \ = \ 0$$
[mm] $$\cos x*\left(\bruch{\sin x}{\cos x}+1\right) [/mm] \ = \ 0$$
Verwende nun: [mm] $\tan [/mm] x \ := \ [mm] \bruch{\sin x}{\cos x}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Mo 24.08.2009
Autor: fencheltee

oder $ [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x = 0 [mm] \gdw \sin [/mm] x = [mm] -\cos [/mm] x [mm] \underbrace{\gdw}_{\cos x\not= 0 } \tan [/mm] x = -1 [mm] \gdw [/mm] x = arctan(-1) [mm] +k\pi$ [/mm]
wobei das im endeffekt schon aufs selbe hinausläuft. geschmackssache halt

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Mo 24.08.2009
Autor: Hoffmann79

Danke erstmal Loddar, stehe aber trotzdem noch etwas auf dem Schlauch.

Also cosx(tanx+1)=0. Dividiere ich dann den cos einfach weg, weil ja auf der rechten Seite der Gleichung eine 0 steht, so dass dann nur noch tanx+1=0 übrig bleibt? Das dann in tanx=-1 umstellen, dann müsste ja -45°, sind das dann schon die [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] aus der Lösung?

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 24.08.2009
Autor: fencheltee


> Danke erstmal Loddar, stehe aber trotzdem noch etwas auf
> dem Schlauch.
>  
> Also cosx(tanx+1)=0. Dividiere ich dann den cos einfach
> weg, weil ja auf der rechten Seite der Gleichung eine 0
> steht, so dass dann nur noch tanx+1=0 übrig bleibt?

[ok]

>  Das
> dann in tanx=-1 umstellen, dann müsste ja -45°, sind das
> dann schon die [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung?

in analysis wird eigentlich doch nur im bogenmaß gerechnet. -45° entsprechen [mm] -\frac{\pi}{4} +k\pi [/mm] . und hier wurde anscheinend aus optischen gründen [mm] 2\pi [/mm] addiert!


Bezug
                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 24.08.2009
Autor: Hoffmann79

Ah O.K., d.h. also [mm] 2\pi [/mm] entsprechen [mm] \bruch{8\pi}{4}, [/mm] die dann + die besagten [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] ergibt dann die [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] aus der Lösung.
Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm] 2k\pi? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 24.08.2009
Autor: MathePower

Hallo Hoffmann79,

> Ah O.K., d.h. also [mm]2\pi[/mm] entsprechen [mm]\bruch{8\pi}{4},[/mm] die
> dann + die besagten [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] ergibt dann die
> [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung.
>  Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm]2k\pi?[/mm]  


Weil es sich hier um perodische Funktionen (Sinus, Cosinus)
handelt, die die Periode [mm]2\pi[/mm] besitzen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Mo 24.08.2009
Autor: Hoffmann79

O.K., vielen Dank an alle die mir (vor allem) so schnell geholfen haben.
Tolles Forum!

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 24.08.2009
Autor: fencheltee


> Ah O.K., d.h. also [mm]2\pi[/mm] entsprechen [mm]\bruch{8\pi}{4},[/mm] die
> dann + die besagten [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] ergibt dann die
> [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung.
>  Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm]2k\pi?[/mm]  

naja für x hatten wir ja jetzt raus : [mm] -\frac{\pi}{4}+k\pi [/mm]
um zu überprüfen ob min. oder max. musst du ja in die 2. ableitung rein, welche ja [mm] 2*e^x*cos(x) [/mm] ist.
mit dem x von oben: [mm] 2*e^x*cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi) [/mm] solltest du wissen dass sich dieser wert abwechselt und zwar
[mm] \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] für gerade k, geschrieben 2k und
[mm] -\frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] für ungerade k, geschrieben 2k+1.

wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei [mm] x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi [/mm] hast du also ein minimum.
analog gehts dann mit dem maximum!


Bezug
                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Di 25.08.2009
Autor: Hoffmann79

So, hier gehts weiter.

Ich bräuchte nochmal Hinweise zu der Geschichte mit dem Min und Max. Hab das mit dem [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] noch nicht so ganz verstanden, wie man dann auf die Ergebnisse kommt.

Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Di 25.08.2009
Autor: fencheltee


> So, hier gehts weiter.
>  
> Ich bräuchte nochmal Hinweise zu der Geschichte mit dem
> Min und Max. Hab das mit dem [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] noch nicht so ganz verstanden, wie
> man dann auf die Ergebnisse kommt.

naja wir haben ja rausgefunden, dass extrema vorliegen bei
$ x= [mm] -\frac{\pi}{4}+k\pi [/mm] $
ob ein extrema minimum oder maximum ist, wird ja dann mit der 2. ableitung untersucht:
$ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^x\cdot{}cos(x) [/mm] $
dann gilt auch noch:
[mm] f''(x_0)>0 [/mm] -> f(x) hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum
[mm] f''(x_0)<0 [/mm] -> f(x) hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum
[mm] f''(x_0)=0 [/mm] -> keine direkte aussage möglich, ggf. nochmal ableiten

zurück zur 2. ableitung: $ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^x\cdot{}cos(x) [/mm] $
die 2 ansich ist positiv, [mm] e^x [/mm] ist immer >0, somit muss cos(x) untersucht werden.
[mm] cos(-\frac{pi}{4}+k\pi) [/mm] jedoch wechselt immer zwischen [mm] \pm\frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] (=cos(45°+k*180°) bzw. [mm] cos(\frac{\pi}{4}+k\pi)) [/mm]

da du den cosinus auch noch gut kennenlernen wirst, kommst du dann auf die idee, auf ungerade und gerade vielfache von pi (also der summand [mm] k\pi) [/mm] aufzuteilen; da der cosinus [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist und somit bei allen [mm] x+(2k)\pi [/mm] den gleichen wert ausspuckt - und bei allen ungeraden vielfachen von [mm] k\pi, [/mm] also [mm] (2k+1)\pi [/mm] spuckt er zwar auch den gleichen wert aus wie bei geraden vielfachen, nur mit einem umgekehrten vorzeichen.
daher musst du die untersuchung nun aufteilen in
- gerade vielfache von [mm] k\pi [/mm] (geschrieben als [mm] (2k)\pi) [/mm]
- ungerade vielfache von [mm] k\pi [/mm] (geschrieben als [mm] (2k+1\pi)) [/mm]
und der rest steht ja wieder im alten post. hoffe das war etwas verständlicher..?!
mfg tee

Bezug
                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Di 25.08.2009
Autor: Hoffmann79

Hab mir das mit der Periodizität vom cos nochmal angesehen und glaub es (zumindest in Ansätzen) zu verstehen. Was ich nicht so ganz verstehe ist deine Rechnung.

wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei $ [mm] x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi [/mm] $ hast du also ein minimum.

wie kommst du bei [mm] -\frac{\pi}{4}+\pi [/mm] auf [mm] \frac{7}{4}\pi, [/mm] ist das nicht [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] ???

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 25.08.2009
Autor: fencheltee


> Hab mir das mit der Periodizität vom cos nochmal angesehen
> und glaub es (zumindest in Ansätzen) zu verstehen. Was ich
> nicht so ganz verstehe ist deine Rechnung.
>  
> wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei
> [mm]x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi[/mm]
> hast du also ein minimum.
>  

oha, da hab ich das richtige gedacht und das falsche geschrieben. sorry!
gemeint war, wenn die 2. ableitung negativ ist, hast du ein maximum. also wie es im vorletzten post steht stimmt es.

> wie kommst du bei [mm]-\frac{\pi}{4}+\pi[/mm] auf [mm]\frac{7}{4}\pi,[/mm]
> ist das nicht [mm]\bruch{3}{4}\pi[/mm] ???

oh man, der fehler ist ja fast noch tragischer... ich sollte auch mal für 20 cent nachdenken bevor ich poste. natürlich hast du recht.
man man wie peinlich

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 23.09.2009
Autor: Hoffmann79

Hallo,

entschuldigt, wenn ich die Aufgabe nochmal hervorkrame, aber da sind noch Fragen.

O.K., die Sache mit den Extremwerten hab ich jetzt kapiert, denk ich.

Jetzt geht es um den Wendepunkt.

Hier brauche ich die 3te Ableitung und wenn diese ungleich 0 ist, dann existiert ein Wendepunkt.

3te Ableitung hier müsste sein

[mm] f'''(x)=2e^x(cos(x)-sin(x)) [/mm] ?

Hier setz ich jetzt für x wieder mein [mm] -\bruch{\pi}{4}+2k\pi [/mm] ein oder?

Wie kann ich das denn ausrechnen? Muss ich jetzt wieder unterscheiden?

Das Ergebnis müsste ich dann in meine Ausgangsfunktion einsetzen und würde damit meinen y-Wert für den Wendepunkt bekommen?

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mi 23.09.2009
Autor: MathePower

Hallo Hoffmann79,

> Hallo,
>  
> entschuldigt, wenn ich die Aufgabe nochmal hervorkrame,
> aber da sind noch Fragen.
>  
> O.K., die Sache mit den Extremwerten hab ich jetzt kapiert,
> denk ich.
>  
> Jetzt geht es um den Wendepunkt.
>  
> Hier brauche ich die 3te Ableitung und wenn diese ungleich
> 0 ist, dann existiert ein Wendepunkt.
>  
> 3te Ableitung hier müsste sein
>  
> [mm]f'''(x)=2e^x(cos(x)-sin(x))[/mm] ?


[ok]


>  
> Hier setz ich jetzt für x wieder mein
> [mm]-\bruch{\pi}{4}+2k\pi[/mm] ein oder?


Hier setzt Du die Werte, die Du als Lösungen der Gleichung [mm]f''\left(x\right)=0[/mm] erhalten hast, ein.


>  
> Wie kann ich das denn ausrechnen? Muss ich jetzt wieder
> unterscheiden?
>  
> Das Ergebnis müsste ich dann in meine Ausgangsfunktion
> einsetzen und würde damit meinen y-Wert für den
> Wendepunkt bekommen?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mi 23.09.2009
Autor: Hoffmann79

Hallo MathePower,

stimmt ja, hab bei dem Gegrüble die "normale" Kurvendiskussion vergessen. 2te Ableitung =0 setzen. Werde mich gleich dran machen.

Danke ;-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Trigonometrische Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]