Kurvendiskussion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Aufgabe | Untersuchen Sie die Kurven, die durch folgende Gleichungen gegeben sind, auf lokale Extrema und Wendepunkte
[mm] y=e^{x}sinx
[/mm]
Lösung:
Min [mm] (\bruch{7}{4}\pi+2k\pi;-\bruch{1}{\wurzel{2}}e^{\bruch{7}{4}\pi+2k\pi}
[/mm]
Max [mm] (\bruch{3}{4}\pi+2k\pi;\bruch{1}{\wurzel{2}}e^{\bruch{3}{4}\pi+2k\pi}
[/mm]
WP [mm] (\bruch{\pi}{2}+k\pi;e^{\bruch{\pi}{2}+k\pi*(-1)^k}) [/mm] .
für [mm] k=0,\pm1,\pm2,...
[/mm]
|
Hallo allerseits, ich beginne demnächst ein Studium und habe im Vorfeld ein paar Matheaufgaben bekommen. Nun komme ich bei obiger Aufgabe nicht weiter.
Typische Kurvendiskussion bedeutet ja für Min oder/und Max die ersten beiden Ableitungen bilden und dann 0 setzen.
1ste Ableitung: [mm] y'=e^{x}sinx+e^{x}cosx
[/mm]
2te Ableitung: [mm] y''=e^{x}cosx-e^{x}sinx
[/mm]
1. [mm] e^{x}sinx+e^{x}cosx=0 [/mm] kann ich auch als [mm] e^{x}*(sinx+cosx) [/mm] schreiben, oder?
Tja, und nun weiss ich nicht mehr weiter, was ich aus der Gleichung machen soll, bekomme keine Werte für x raus bzw. hab keine Idee wie. Logarithmieren, Additionstheorem?
|
|
|
|
Bei der 2ten Ableitung hab ich mal wieder geschludert. Müsste dann
[mm] y''=e^{x}sinx+e^{x}cosx+e^{x}cosx-e^{x}sinx [/mm] sein,
was ich wiederrum zusammenfassen kann als
[mm] y''=e^{x}(sinx+cossx+cosx-sinx) [/mm] was dann [mm] y''=e^{x}(2cosx) [/mm] sein müsste
Mit dem cosx ausklammern komm ich nicht weiter.
Die 2te Teilgleichung lautet doch sinx+cosx=0. Hängt das mit damit zusammen, dass [mm] sinx=\wurzel{1-cos^2x} [/mm] ist? Könntest du mir das bitte noch etwas näher erläutern. Sorry, aber Trigonometrie war/ist noch nie meine Stärke gewesen.
|
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 19:12 Mo 24.08.2009 | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
> was ich wiederrum zusammenfassen kann als
>
> [mm]y''=e^{x}(sinx+cossx+cosx-sinx)[/mm] was dann [mm]y''=e^{x}(2cosx)[/mm] sein müsste
> Mit dem cosx ausklammern komm ich nicht weiter.
[mm] $$\sin x+\cos [/mm] x \ = \ 0$$
[mm] $$\cos x*\left(\bruch{\sin x}{\cos x}+1\right) [/mm] \ = \ 0$$
Verwende nun: [mm] $\tan [/mm] x \ := \ [mm] \bruch{\sin x}{\cos x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:19 Mo 24.08.2009 | Autor: | fencheltee |
oder $ [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x = 0 [mm] \gdw \sin [/mm] x = [mm] -\cos [/mm] x [mm] \underbrace{\gdw}_{\cos x\not= 0 } \tan [/mm] x = -1 [mm] \gdw [/mm] x = arctan(-1) [mm] +k\pi$
[/mm]
wobei das im endeffekt schon aufs selbe hinausläuft. geschmackssache halt
|
|
|
|
|
Danke erstmal Loddar, stehe aber trotzdem noch etwas auf dem Schlauch.
Also cosx(tanx+1)=0. Dividiere ich dann den cos einfach weg, weil ja auf der rechten Seite der Gleichung eine 0 steht, so dass dann nur noch tanx+1=0 übrig bleibt? Das dann in tanx=-1 umstellen, dann müsste ja -45°, sind das dann schon die [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] aus der Lösung?
|
|
|
|
|
> Danke erstmal Loddar, stehe aber trotzdem noch etwas auf
> dem Schlauch.
>
> Also cosx(tanx+1)=0. Dividiere ich dann den cos einfach
> weg, weil ja auf der rechten Seite der Gleichung eine 0
> steht, so dass dann nur noch tanx+1=0 übrig bleibt?
> Das
> dann in tanx=-1 umstellen, dann müsste ja -45°, sind das
> dann schon die [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung?
in analysis wird eigentlich doch nur im bogenmaß gerechnet. -45° entsprechen [mm] -\frac{\pi}{4} +k\pi [/mm] . und hier wurde anscheinend aus optischen gründen [mm] 2\pi [/mm] addiert!
|
|
|
|
|
Ah O.K., d.h. also [mm] 2\pi [/mm] entsprechen [mm] \bruch{8\pi}{4}, [/mm] die dann + die besagten [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] ergibt dann die [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] aus der Lösung.
Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm] 2k\pi?
[/mm]
|
|
|
|
|
Hallo Hoffmann79,
> Ah O.K., d.h. also [mm]2\pi[/mm] entsprechen [mm]\bruch{8\pi}{4},[/mm] die
> dann + die besagten [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] ergibt dann die
> [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung.
> Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm]2k\pi?[/mm]
Weil es sich hier um perodische Funktionen (Sinus, Cosinus)
handelt, die die Periode [mm]2\pi[/mm] besitzen.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:50 Mo 24.08.2009 | Autor: | Hoffmann79 |
O.K., vielen Dank an alle die mir (vor allem) so schnell geholfen haben.
Tolles Forum!
|
|
|
|
|
> Ah O.K., d.h. also [mm]2\pi[/mm] entsprechen [mm]\bruch{8\pi}{4},[/mm] die
> dann + die besagten [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] ergibt dann die
> [mm]\bruch{7}{4}\pi[/mm] aus der Lösung.
> Noch eine Frage. Warum steht in der Lösung + [mm]2k\pi?[/mm]
naja für x hatten wir ja jetzt raus : [mm] -\frac{\pi}{4}+k\pi
[/mm]
um zu überprüfen ob min. oder max. musst du ja in die 2. ableitung rein, welche ja [mm] 2*e^x*cos(x) [/mm] ist.
mit dem x von oben: [mm] 2*e^x*cos(-\frac{\pi}{4}+k\pi) [/mm] solltest du wissen dass sich dieser wert abwechselt und zwar
[mm] \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] für gerade k, geschrieben 2k und
[mm] -\frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] für ungerade k, geschrieben 2k+1.
wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei [mm] x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi [/mm] hast du also ein minimum.
analog gehts dann mit dem maximum!
|
|
|
|
|
So, hier gehts weiter.
Ich bräuchte nochmal Hinweise zu der Geschichte mit dem Min und Max. Hab das mit dem [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] noch nicht so ganz verstanden, wie man dann auf die Ergebnisse kommt.
|
|
|
|
|
> So, hier gehts weiter.
>
> Ich bräuchte nochmal Hinweise zu der Geschichte mit dem
> Min und Max. Hab das mit dem [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] noch nicht so ganz verstanden, wie
> man dann auf die Ergebnisse kommt.
naja wir haben ja rausgefunden, dass extrema vorliegen bei
$ x= [mm] -\frac{\pi}{4}+k\pi [/mm] $
ob ein extrema minimum oder maximum ist, wird ja dann mit der 2. ableitung untersucht:
$ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^x\cdot{}cos(x) [/mm] $
dann gilt auch noch:
[mm] f''(x_0)>0 [/mm] -> f(x) hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum
[mm] f''(x_0)<0 [/mm] -> f(x) hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum
[mm] f''(x_0)=0 [/mm] -> keine direkte aussage möglich, ggf. nochmal ableiten
zurück zur 2. ableitung: $ f''(x) = [mm] 2\cdot{}e^x\cdot{}cos(x) [/mm] $
die 2 ansich ist positiv, [mm] e^x [/mm] ist immer >0, somit muss cos(x) untersucht werden.
[mm] cos(-\frac{pi}{4}+k\pi) [/mm] jedoch wechselt immer zwischen [mm] \pm\frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] (=cos(45°+k*180°) bzw. [mm] cos(\frac{\pi}{4}+k\pi))
[/mm]
da du den cosinus auch noch gut kennenlernen wirst, kommst du dann auf die idee, auf ungerade und gerade vielfache von pi (also der summand [mm] k\pi) [/mm] aufzuteilen; da der cosinus [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist und somit bei allen [mm] x+(2k)\pi [/mm] den gleichen wert ausspuckt - und bei allen ungeraden vielfachen von [mm] k\pi, [/mm] also [mm] (2k+1)\pi [/mm] spuckt er zwar auch den gleichen wert aus wie bei geraden vielfachen, nur mit einem umgekehrten vorzeichen.
daher musst du die untersuchung nun aufteilen in
- gerade vielfache von [mm] k\pi [/mm] (geschrieben als [mm] (2k)\pi)
[/mm]
- ungerade vielfache von [mm] k\pi [/mm] (geschrieben als [mm] (2k+1\pi))
[/mm]
und der rest steht ja wieder im alten post. hoffe das war etwas verständlicher..?!
mfg tee
|
|
|
|
|
Hab mir das mit der Periodizität vom cos nochmal angesehen und glaub es (zumindest in Ansätzen) zu verstehen. Was ich nicht so ganz verstehe ist deine Rechnung.
wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei $ [mm] x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi [/mm] $ hast du also ein minimum.
wie kommst du bei [mm] -\frac{\pi}{4}+\pi [/mm] auf [mm] \frac{7}{4}\pi, [/mm] ist das nicht [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] ???
|
|
|
|
|
> Hab mir das mit der Periodizität vom cos nochmal angesehen
> und glaub es (zumindest in Ansätzen) zu verstehen. Was ich
> nicht so ganz verstehe ist deine Rechnung.
>
> wenn die 2. ableitung negativ ist, also bei
> [mm]x=-\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi =\frac{7}{4}\pi+2k\pi[/mm]
> hast du also ein minimum.
>
oha, da hab ich das richtige gedacht und das falsche geschrieben. sorry!
gemeint war, wenn die 2. ableitung negativ ist, hast du ein maximum. also wie es im vorletzten post steht stimmt es.
> wie kommst du bei [mm]-\frac{\pi}{4}+\pi[/mm] auf [mm]\frac{7}{4}\pi,[/mm]
> ist das nicht [mm]\bruch{3}{4}\pi[/mm] ???
oh man, der fehler ist ja fast noch tragischer... ich sollte auch mal für 20 cent nachdenken bevor ich poste. natürlich hast du recht.
man man wie peinlich
|
|
|
|
|
Hallo,
entschuldigt, wenn ich die Aufgabe nochmal hervorkrame, aber da sind noch Fragen.
O.K., die Sache mit den Extremwerten hab ich jetzt kapiert, denk ich.
Jetzt geht es um den Wendepunkt.
Hier brauche ich die 3te Ableitung und wenn diese ungleich 0 ist, dann existiert ein Wendepunkt.
3te Ableitung hier müsste sein
[mm] f'''(x)=2e^x(cos(x)-sin(x)) [/mm] ?
Hier setz ich jetzt für x wieder mein [mm] -\bruch{\pi}{4}+2k\pi [/mm] ein oder?
Wie kann ich das denn ausrechnen? Muss ich jetzt wieder unterscheiden?
Das Ergebnis müsste ich dann in meine Ausgangsfunktion einsetzen und würde damit meinen y-Wert für den Wendepunkt bekommen?
|
|
|
|
|
Hallo Hoffmann79,
> Hallo,
>
> entschuldigt, wenn ich die Aufgabe nochmal hervorkrame,
> aber da sind noch Fragen.
>
> O.K., die Sache mit den Extremwerten hab ich jetzt kapiert,
> denk ich.
>
> Jetzt geht es um den Wendepunkt.
>
> Hier brauche ich die 3te Ableitung und wenn diese ungleich
> 0 ist, dann existiert ein Wendepunkt.
>
> 3te Ableitung hier müsste sein
>
> [mm]f'''(x)=2e^x(cos(x)-sin(x))[/mm] ?
>
> Hier setz ich jetzt für x wieder mein
> [mm]-\bruch{\pi}{4}+2k\pi[/mm] ein oder?
Hier setzt Du die Werte, die Du als Lösungen der Gleichung [mm]f''\left(x\right)=0[/mm] erhalten hast, ein.
>
> Wie kann ich das denn ausrechnen? Muss ich jetzt wieder
> unterscheiden?
>
> Das Ergebnis müsste ich dann in meine Ausgangsfunktion
> einsetzen und würde damit meinen y-Wert für den
> Wendepunkt bekommen?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 22:07 Mi 23.09.2009 | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo MathePower,
stimmt ja, hab bei dem Gegrüble die "normale" Kurvendiskussion vergessen. 2te Ableitung =0 setzen. Werde mich gleich dran machen.
Danke
|
|
|
|