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hi,
ich weiß, schon wieder eine frage von mir.
ich habe diese frage in keinem anderen forum im internet gestellt.
es geht um eine extremstelle der funktion y= [mm] \wurzel{1+x} [/mm] + [mm] \wurzel{1-x}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{1+x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{1-x}}
[/mm]
y'' = [mm] \bruch{-1}{4*\wurzel[3]{(1+x)}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4*\wurzel[3]{(1-x)}}
[/mm]
die extremstelle ist (0/2)
dies habe ich mit der ersten ableitung herausbekommen.
an dieser stelle liegt ein maximum vor. das sieht man wenn man die funktion zeichnet.
das problem ist aber, dass ich rechnerisch kein maximum herausbekomme.
ich bekomme dann immer y''=0, es müßte aber y''<0 sein, damit ein maximum vorliegt.
das programm matheass bekommt bei der wertetabelle von y'' bei 0 -1 raus. ich bekomme aber 0 raus wenn ich den werte 0 von y' einsetze. und wenn ich y'' = 0 setze, komme ich auch nicht ans richtige ergebnis.
mit hilfe der 3. und 4. ableitung komme ich leider auch nicht weiter.
könnt ihr mir sagen, was ich falsch mache.
danke
jan
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Halli hallo!
> es geht um eine extremstelle der funktion y= [mm]\wurzel{1+x}[/mm] +
> [mm]\wurzel{1-x}
[/mm]
>
> y' = [mm]\bruch{1}{2* \wurzel{1+x}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2* \wurzel{1-x}}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> y'' = [mm]\bruch{-1}{4*\wurzel[3]{(1+x)}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4*\wurzel[3]{(1-x)}}
[/mm]
hier hast du dich vertan!
Zuerst ist die Ableitung von [mm] (1+x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] gleich [mm] (1+x)^{-\bruch{3}{2}} =\bruch{1}{\wurzel{(1+x)^3}}
[/mm]
und bei dem zweiten Summand hast du die -1 aus der inneren ABleitung vergessen, es müßte also heißen:
y'' = [mm]\bruch{-1}{4*\wurzel{(1+x)^3}}-\bruch{1}{4*\wurzel{(1-x)^3}}
[/mm]
> die extremstelle ist (0/2)
>
> dies habe ich mit der ersten ableitung herausbekommen.
> an dieser stelle liegt ein maximum vor. das sieht man wenn
> man die funktion zeichnet.
>
> das problem ist aber, dass ich rechnerisch kein maximum
> herausbekomme.
> ich bekomme dann immer y''=0, es müßte aber y''<0 sein,
> damit ein maximum vorliegt.
> das programm matheass bekommt bei der wertetabelle von y''
> bei 0 -1 raus. ich bekomme aber 0 raus wenn ich den werte 0
> von y' einsetze. und wenn ich y'' = 0 setze, komme ich auch
> nicht ans richtige ergebnis.
ALso y'' ist so immerhin schonmal -0,5 an der Stelle x=0, wenn auch nicht gleich -1....
Ich hoffe ich konnte dir wieterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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Hi, Halebob,
Wenn Du die Ableitungen mit Hilfe von Hochzahl- Und Kettenregel berechnest, erhältst Du:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}(1+x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(1-x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] (was Deinem Ergebnis entspricht!)
und
f''(x) = [mm] -\bruch{1}{4}(1+x)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}(1-x)^{-\bruch{3}{2}} [/mm]
Das heißt: Ich kann das Ergebnis von cremchen auch auf diesem Wwege bestätigen!!
Doch nebenbei:
>
> ich bekomme dann immer y''=0, es müßte aber y''<0 sein,
> damit ein maximum vorliegt.
Dieses Kriterium ist nur hinreichend, aber nicht notwendig!
In solchen Fällen (also wenn wirklich mal y''=0 sein sollte) argumentierst Du am besten über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung (bei Deinem Beispiel: von + nach - ; daher Hochpunkt)
>
> mit hilfe der 3. und 4. ableitung komme ich leider auch
> nicht weiter.
>
Diese Ableitungen benötigst Du praktisch nie!
mfG!
Zwerglein
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