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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f_{a} [/mm] mit [mm] f_{a}(x)=\bruch{x}{x^{2}+a^{2}} [/mm] und a [mm] \in \IR.
[/mm]
a) Ermittle die Nullstellen von [mm] f_{a} [/mm] sowie die Hoch-,Tief- und Wendepunkte des Graphen [mm] f_{a}(x).
[/mm]
b) Die Extrempunkte und die von 0 verschiedenen Wendepunkte bilden ein Parallelogramm. Wie muss a gewählt werden, damit dieses Parallellogramm ein Rechteck ist? |
Also, a ist bei mir nicht das Problem,das klappt alles,aber bei b) hab ich so meine Schwierigkeiten....
aber von Anfang an:
a)
Nullstellen:
[mm] f_{a}(x)=0
[/mm]
[mm] \bruch{x}{x^{2}+a^{2}}=0
[/mm]
--> Nullstelle bei x=0,also N(0|0)
Extrempunkte:
[mm] f_{a}'(x)=0
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=\bruch{-x^{2}+a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}
[/mm]
somit ist
[mm] -x^{2}+a^{2}=0
[/mm]
[mm] x^{2}=a^{2}
[/mm]
damit ergibt sich
[mm] x_{1}=a
[/mm]
[mm] x_{2}=-a
[/mm]
setzt man ein in [mm] f_{a}(x) [/mm] erhält man
[mm] E_{1}=(a|\bruch{1}{2a})
[/mm]
[mm] E_{2}=(-a|-\bruch{1}{2a})
[/mm]
Wendepunkte:
[mm] f_{a}''(x)=0;
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=\bruch{2x^{5}-4a^{2}x^{3}-6a^{4}x}{(x^{2}+a^{2})^{4}}
[/mm]
[mm] 2x^{5}-4a^{2}x^{3}-6a^{4}x=0
[/mm]
Hebt man x heraus, erhält man den ersten Wendepunkt [mm] W_{1}=(0|0)
[/mm]
Nun bleibt folgende Gleichung übrig:
[mm] 2x^{4}-4a^{2}x^{2}-6a^{4}=0
[/mm]
man substituiert [mm] x^{2}=u
[/mm]
aus der quadratischen Gleichung erhält man für
[mm] u_{1}=3a^{2} [/mm] und [mm] u_{2}=-1a^{2}
[/mm]
aus [mm] u_{1}=x^{2}
[/mm]
erhält man [mm] x_{1}=\wurzel{3}a [/mm] und [mm] x_{2}=-\wurzel{3}a
[/mm]
aus [mm] u_{2} [/mm] erhält man zwei komplexe Lösungen, die ich, weil die Funktion in [mm] \IR [/mm] definiert ist, vernachlässige.
Setzt man [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in [mm] f_{a}(x) [/mm] ein, so erhält man folgende Wendepunkte:
[mm] W_{2}=(\wurzel{3}a|\bruch{\wurzel{3}}{4a})
[/mm]
[mm] W_{3}=(-\wurzel{3}a|-\bruch{\wurzel{3}}{4a})
[/mm]
Bestimmung,ob [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] Hoch- oder Tiefpunkte sind:
für [mm] E_{1} [/mm] setzte ich a in [mm] f_{a}''(x) [/mm] ein:
[mm] f_{a}''(a)=-\bruch{1}{2a^{3}} [/mm] --> für a>0 ist [mm] E_{1} [/mm] ein Hochpunkt, für a<0 ist [mm] E_{1} [/mm] ein Tiefpunkt.
Für [mm] E_{2} [/mm] wird -a eingesetzt:
[mm] f_{a}''(-a)=\bruch{1}{2a^{3}}--> [/mm] für a<0 ist [mm] E_{2} [/mm] ein Hochpunkt, für a>0 ist [mm] E_{2} [/mm] ein Tiefpunkt.
So... nun zu b):
Die Extrempunkte und von Null verschiedenen Wendepunkte, die ein Parallelogramm bilden, sind:
[mm] E_{1}=(a|\bruch{1}{2a})
[/mm]
[mm] E_{2}=(-a|-\bruch{1}{2a})
[/mm]
[mm] W_{2}=(\wurzel{3}a|\bruch{\wurzel{3}}{4a})
[/mm]
[mm] W_{3}=(-\wurzel{3}a|-\bruch{\wurzel{3}}{4a})
[/mm]
Und jetzt meine Annahme bzw. mein Problem:
Damit das ganze ein Rechteck wird, muss es doch so sein, dass beide Eckpunkte mit positiver x-Koordinate die gleiche x-Koordinate haben müssen bzw. das gleiche Spiel im Negativen.
Das würde bedeuten:
a = [mm] \wurzel{3}a
[/mm]
und in dieser Gleichung gibt es keine Lösung, denn wenn a=0, sind zum einen alle vier Punkte auf einer Höhe und die y-Koordinaten wären Divisionen durch 0.
Ist es also überhaupt möglich ein Rechteck zu bilden?
Vielen Dank im Vorraus,
Rebell der Sonne
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Hallo,
also Aufgabe a) habe ich jetzt nicht mehr nachgesehen, aber zu Aufgabe b) mal meine Gedanken:
Du hast zwei Extrempunkte:
[mm] E_{1}=(-a/\bruch{-1}{2*a}
[/mm]
[mm] E_{2}=(a/\bruch{1}{2*a})
[/mm]
und zwei Wendepunkte:
[mm] W_{1}=(-a*\wurzel{3}/\bruch{-\wurzel{3}}{4*a})
[/mm]
[mm] W_{2}=(a*\wurzel{3}/\bruch{\wurzel{3}}{4*a})
[/mm]
Hier mal der Graph für a=1
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt legen wir einfach mal eine Gerade durch den Extrempunkt und Wendepunkt im positiven x-Bereich und dasselbe im negativen x-Bereich.
Diese Geraden hätten jeweils die Steigung:
im positiven Bereich:
[mm] m_{1}=\bruch{-\wurzel{3}+1}{8*a^{2}}
[/mm]
im negativen Bereich dasselbe also [mm] m_{1}=m_{2}
[/mm]
Nun legen wir eine Gerade durch den negativen Wendepunkt und den positiven Extrempunkt, und wenn das ganze ein Rechteck sein soll, muss diese Gerade die Gerade durch die beiden positiven Punkte rechtwinklig schneiden, also muss für die Steigung der neuen Geraden gelten:
[mm] m_{3}=\bruch{-1}{m_{1;2}}
[/mm]
Die Steigung der Geraden allgemein wäre:
[mm] m_{3}=\bruch{\wurzel{3}+1}{8*a^{2}}
[/mm]
Nun gleichsetzen:
[mm] m_{3}=\bruch{-1}{m_{1;2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{3}+1}{8*a^{2}}=\bruch{-1}{\bruch{-\wurzel{3}+1}{8*a^{2}}}
[/mm]
[mm] a_{1;2}=\bruch{\pm\wurzel[4]{8}}{4}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{-\wurzel[4]{8}}{4}\approx-0,4204
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{\wurzel[4]{8}}{4}\approx0,4204
[/mm]
Plottest du dir das ganze nun, siehst du, dass es eigentlich passen sollte, zumindest auf meinen Bildern funktioniert es.
Das ist vielleicht nicht der eleganteste Weg, aber immerhin sind wir am Ziel :)
Lg,
exeqter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Herzlichen Dank!
Klingt alles sehr logisch,wär ich selbst nie drauf gekommen ^^
Nur eine Frage habe ich und zwar: Wie kommst du auf die Geradensteigung? Ich bekomm immer [mm] m_{1}=\bruch{2-\wurzel{3}}{(1-\wurzel{3})*4a^{2}} [/mm] heraus,wenn ich nach [mm] m_{1}=\bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] rechne...
Für [mm] m_{3} [/mm] bekomme ich [mm] \bruch{2-\wurzel{3}}{(1+\wurzel{3})*4a^{2}} [/mm] heraus und dann für [mm] a=\pm [/mm] 0,21764.
Aber ich hab keine Ahnung wo mein Fehler liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Sa 09.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Herzlichen Dank!
> Klingt alles sehr logisch,wär ich selbst nie drauf
> gekommen ^^
>
> Nur eine Frage habe ich und zwar: Wie kommst du auf die
> Geradensteigung? Ich bekomm immer
> [mm]m_{1}=\bruch{2-\wurzel{3}}{(1-\wurzel{3})*4a^{2}}[/mm]
> heraus,wenn ich nach [mm]m_{1}=\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
> rechne...
> Für [mm]m_{3}[/mm] bekomme ich
> [mm]\bruch{2-\wurzel{3}}{(1+\wurzel{3})*4a^{2}}[/mm] heraus und dann
> für [mm]a=\pm[/mm] 0,21764.
>
> Aber ich hab keine Ahnung wo mein Fehler liegt.
richtig ist - denke ich:
[mm] m=\frac{\sqrt{3}+2}{4a^2(\sqrt{3}+1)} [/mm] sowie [mm] m_{\perp}=\frac{\sqrt{3}-2}{4a^2(\sqrt{3}-1)}
[/mm]
und damit [mm] a^4=\frac{1}{32}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo
Nur so am Rande:
fehlt da zumindest bei der Nullstelle nicht noch eine kleine Fallunterscheidung .. ?
Falls a=0, hättest du nämlich ein Problem 8-)
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Sa 09.08.2008 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
also ich habe die ganzen Gleichungen gestern Nacht nicht per Hand berechnet sondern mit dem TI-Voyage 200 ... Und dieses CAS sagte mir meine Ergebnisse... Vielleicht habe ich irgendwo etwas falsch eingetippt, aber die geplottete Funktion mit meinem Wert für a ergab ein Rechteckt...
Lg,
exeqter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Sa 09.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hi,
>
> also ich habe die ganzen Gleichungen gestern Nacht nicht
> per Hand berechnet sondern mit dem TI-Voyage 200 ... Und
> dieses CAS sagte mir meine Ergebnisse... Vielleicht habe
> ich irgendwo etwas falsch eingetippt, aber die geplottete
> Funktion mit meinem Wert für a ergab ein Rechteckt...
>
> Lg,
>
> exeqter
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
wir haben dieselben werte,
dein rechner hat den nenner rational gemacht
[mm] m=\frac{\sqrt{3}+2}{4a^2(\sqrt{3}+1)}=\frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)}{4a^2(3-1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{8a^2}
[/mm]
[mm] a^4=\frac{1}{32}\to [/mm] a~0.4204
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Okay,das heißt,die zwei Punkte "vertauschen".... aber woher weiß ich das,ohne zu plotten??? ;)
Herzlichen Dank für die rege Beteiligung!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mo 11.08.2008 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
naja du weißt das, wenn du dir die x-Werte der Extrem- und Wendepunkte anschaust. Dazu der Funktionsgraph und du solltest eine ungefähre vorstellung davon haben, wie die Funktion aussieht. Es ist natürlich einfacher sie sich zu plotten... Allerdings geht es auch ohne ! Mit ein wenig Erfahrung bzgl. der gebrochen-rationalen Funktionen weißt du einfach irgendwie wie die Funktion ungefähr aussieht.
Lg,
exeqter
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