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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 04.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Diskutiere
a) f(x)= x ln(x)
b)f(x)= [mm] \bruch{1}{x ln(x)} [/mm] |
Hallo zusammen,
wir haben als Hausaufgabe diese 2 Aufgaben bekommen und sollen jeweils den Definitionsbereich,die Nullstellen,Extremstelllen und Wendestellen rechnen.
Bei normalen Funktionen kann ich das,aber nicht bei den ln.
Daher wäre es nett,wenn mir jemand die Regeln bei ln-Funktionen erklären könnte.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Di 04.03.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo amilade,
du bist etwas im falschen Zweig gelandet, kann das sein? Denn um Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen zu berechnen braucht man ja keine Integrale, sondern "nur" Ableitungen.
Und damit gebe ich dir auch eine Antwort: Die Ableitung von [mm] $\ln [/mm] x$ ist [mm] $\frac1x$. [/mm] Du brauchst dann noch die Kettenregel sowie die Produktregel und schon kannst du deine beiden Funktionen ableiten.
Ich hoffe, das hilft dir. Sonst müsstest du bitte etwas konkreter Fragen.
Mathematische Grüße,
Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 04.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | > Hallo amilade,
>
> du bist etwas im falschen Zweig gelandet, kann das sein?
> Denn um Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen zu
> berechnen braucht man ja keine Integrale, sondern "nur"
> Ableitungen.
>
> Und damit gebe ich dir auch eine Antwort: Die Ableitung von
> [mm]\ln x[/mm] ist [mm]\frac1x[/mm]. Du brauchst dann noch die Kettenregel
> sowie die Produktregel und schon kannst du deine beiden
> Funktionen ableiten.
>
> Ich hoffe, das hilft dir. Sonst müsstest du bitte etwas
> konkreter Fragen.
>
> Mathematische Grüße,
>
> Manatu
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Hallo Manatu,
erstmal danke für deine Antwort und deine Hilfe.
Ich habe versucht die NUllstellen zu rechen aber komm da irgendwie nicht weiter!
Bei der ersten Ableitung habe ich raus f'(x)= [mm] 1*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x}
[/mm]
Bei der zweiten Ableitung habe ich raus: [mm] \bruch{x-1}{x^{2}} [/mm] raus bin mir aber beiden Ergebnissen nicht sicher.
An die zweite Aufgabe traue ich mich nicht ran,weil ich nciht weiß,wie ich anfangen soll.
DAnke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo amilade,
>Bei der ersten Ableitung habe ich raus f'(x)= $ [mm] 1\cdot{}\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x} [/mm] $
nicht ganz..
f(x)= [mm] \underbrace{x}_{=u}\underbrace{Lnx}_{=u} [/mm]
also hast du hier u*v (Produkt regel) => u*v = u'*v + u*v'
$u= x, u'=1$
$v=lnx , v'= [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
$f'(x)= 1*Lnx + x * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = Lnx + 1$
-----
zu der aufgabe b)
$f(x)= [mm] \bruch{1}{x*ln(x)} [/mm] $
Tip:
schreibe das ganze in einer Potenz schreibweise ( [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] )
zuerst:
$f(x)= [mm] \bruch{1}{x ln(x)} [/mm] $ = $f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ln(x)}$ [/mm] = $f(x)= [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] (ln(x))^{-1}$
[/mm]
hier kannst du ableiten analog der beispiel aus a) produktregel, wobei dein v eine kettenregel beinhaltet ...
notiere einfach $v = [mm] (ln(x))^{-1}$ [/mm] , und leite es für sich ab.
dannach kast du dises v in deine Produktregel einsetzen.
ergebniss sollte: [mm] -\bruch{1}{x^2 * (Ln(x))^2} -\bruch{1}{x^2 * (Ln(x))} [/mm] lauten ...
hier als tip ( $ [mm] \bruch{1}{a} [/mm] $ = $ [mm] a^{-1} [/mm] $ ) kannst du umgekehrt anwenden 
mfg
masa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Di 04.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | > Hallo amilade,
>
> >Bei der ersten Ableitung habe ich raus f'(x)=
> [mm]1\cdot{}\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x}[/mm]
> nicht ganz..
>
> f(x)= [mm]\underbrace{x}_{=u}\underbrace{Lnx}_{=u}[/mm]
>
> also hast du hier u*v (Produkt regel) => u*v = u'*v + u*v'
> [mm]u= x, u'=1[/mm]
> [mm]v=lnx , v'= \bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)= 1*Lnx + x * \bruch{1}{x} = Lnx + 1[/mm]
>
>
> -----
>
> zu der aufgabe b)
> [mm]f(x)= \bruch{1}{x*ln(x)}[/mm]
>
> Tip:
> schreibe das ganze in einer Potenz schreibweise (
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] = [mm]a^{-1}[/mm] )
>
> zuerst:
>
> [mm]f(x)= \bruch{1}{x ln(x)}[/mm] = [mm]f(x)= \bruch{1}{x} * \bruch{1}{ln(x)}[/mm]
> = [mm]f(x)= x^{-1} * (ln(x))^{-1}[/mm]
>
> hier kannst du ableiten analog der beispiel aus a)
> produktregel, wobei dein v eine kettenregel beinhaltet ...
>
> notiere einfach [mm]v = (ln(x))^{-1}[/mm] , und leite es für sich
> ab.
>
> dannach kast du dises v in deine Produktregel einsetzen.
>
> ergebniss sollte: [mm]-\bruch{1}{x^2 * (Ln(x))^2} -\bruch{1}{x^2 * (Ln(x))}[/mm]
> lauten ...
>
> hier als tip ( [mm]\bruch{1}{a}[/mm] = [mm]a^{-1}[/mm] ) kannst du
> umgekehrt anwenden
>
>
> mfg
> masa
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Hallo masa,
auch dir erstmal ein Danke schön!
Ich habe jetzt die Regeln beachtet und habe jeweils von der ersten und der zweiten die 2.Ableitung gerechnet:
bei der ersten Aufgabe habe ich für die 2.Ableitung raus:
[mm] f''(x)=\bruch{1}{x} [/mm] weil nach der Summenregel fällt die 1 weg,weil der kein x steht
bei der zweiten Aufgabe habe ich für die 2.Ableitung raus:
nach der Quotientenregel:
f''(x)= [mm] -\bruch{x^{2}(ln(x))^2-4}{x^{4}(ln(x))^4}-\bruch{x^2(ln(x))-2}{x^4(ln(x))^2}
[/mm]
eine Frage habe ich noch: Wenn ich zB bei der ersten Aufgabe die NUllstellen berechne,siehe das Ergebnis dann so aus:
[mm] x*ln(x)=0\gdwln(x)=0\gdwx=0
[/mm]
und wenn ich bei der ersten Aufgabe die Extremstelle rechne:
[mm] f'(x)=0\gdw\bruch{1}{x}=0\gdw1=0 [/mm] das würde dann heißen, dass es keine Extremstellen gibt.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 04.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Nullstelle: x*lnx=0 x=0 ist die Funktion nicht definiert. bleibt lnx=0 also x=?
2. Extrema: f'(x) ist nicht 1/x deshalb gibts doch ne Extremstelle,
f''(x)=1/x ist nirgends 0 also kein Wendepunkt
3. dein f''(x) der zweiten Funktion ist falsch. Hast du die erste Ableitung wirklich mal selbst ausgerechnet, und nicht einfach abgeschrieben?
schreib dir deine u und v für die Quotientenregel wirklich erstmal einzeln auf, und ihre Ableitungen. Denn wie du auf deinen Ausdruck kommst kann man ja nicht sehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 05.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | > Hallo
> 1. Nullstelle: x*lnx=0 x=0 ist die Funktion nicht
> definiert. bleibt lnx=0 also x=?
> 2. Extrema: f'(x) ist nicht 1/x deshalb gibts doch ne
> Extremstelle,
> f''(x)=1/x ist nirgends 0 also kein Wendepunkt
> 3. dein f''(x) der zweiten Funktion ist falsch. Hast du
> die erste Ableitung wirklich mal selbst ausgerechnet, und
> nicht einfach abgeschrieben?
> schreib dir deine u und v für die Quotientenregel wirklich
> erstmal einzeln auf, und ihre Ableitungen. Denn wie du auf
> deinen Ausdruck kommst kann man ja nicht sehen.
> Gruss leduart
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Hallo leduart,
also ich habe nochmal alles neu berechnet:
1.Nullstelle ist dann x=0,95 (e)
2.Extrema :f'(x)= [mm] 1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}= [/mm] ln(x)+1
[mm] f'(x)=0\gdw ln(x)=-1\gdw [/mm] x= 1,042
3.Die erste Ableitung nach der Produkt und Kettenregel:
u=x^-1 u'=-1x^-2
v= (ln(x))^-1 v'(x)= [mm] -1(ln(x))*\bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x)= -1x^-2*(ln(x))^-1 + [mm] x^-1*(-1*(ln(x))*\bruch{1}{x}
[/mm]
-1*x^-2*(ln(x))-1 x-2(ln(x))
Danke
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Hi, amilade,
> > Hallo
> > 1. Nullstelle: x*lnx=0 x=0 ist die Funktion nicht
> > definiert. bleibt lnx=0 also x=?
Wichtige Merkregel: [mm] ln(\red{1}) [/mm] = 0
> also ich habe nochmal alles neu berechnet:
> 1.Nullstelle ist dann x=0,95 (e)
Siehe oben: x = 1 (exakt!)
> 2.Extrema :f'(x)= [mm]1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}=[/mm] ln(x)+1
> [mm]f'(x)=0\gdw ln(x)=-1\gdw[/mm] x= 1,042
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Außerdem:
Immer exakte Lösungen angeben!
ln(x) = -1 <=> [mm] e^{ln(x)} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] <=> x = [mm] e^{-1} [/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 05.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | > Hi, amilade,
>
> > > Hallo
> > > 1. Nullstelle: x*lnx=0 x=0 ist die Funktion nicht
> > > definiert. bleibt lnx=0 also x=?
>
> Wichtige Merkregel: [mm]ln(\red{1})[/mm] = 0
>
> > also ich habe nochmal alles neu berechnet:
> > 1.Nullstelle ist dann x=0,95 (e)
>
> Siehe oben: x = 1 (exakt!)
>
> > 2.Extrema :f'(x)= [mm]1*ln(x)+x*\bruch{1}{x}=[/mm] ln(x)+1
> > [mm]f'(x)=0\gdw ln(x)=-1\gdw[/mm] x= 1,042
>
>
> Außerdem:
> Immer exakte Lösungen angeben!
>
> ln(x) = -1 <=> [mm]e^{ln(x)}[/mm] = [mm]e^{-1}[/mm] <=> x = [mm]e^{-1}[/mm]
>
> mfG!
> Zwerglein
>
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Hallo Zwerglein,
Danke für deine Antwort!
Würde es denn richtig sein wenn ich sagen würde, es gebe einen Tiefpunkt in (e^-1 / f(e^-1)) ?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, das ist richtig, aber f(1/e) solltest du ausrechnen, und begründen, dass es ein TP ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 05.03.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | > Hallo
> Ja, das ist richtig, aber f(1/e) solltest du ausrechnen,
> und begründen, dass es ein TP ist.
> Gruss leduart
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Hallo leduart,
würde es reichen wenn ich hinschreibe:
f'(x)=0 und f''(x) größer 0, und damit ist die Bedingung für das Existieren eines TP erfüllt
wenn ich e einsetze krieg ich raus 2,71
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart,
> würde es reichen wenn ich hinschreibe:
>
> f'(x)=0 und f''(x) größer 0, und damit ist die Bedingung
> für das Existieren eines TP erfüllt
Ja, das ist richtig.
> wenn ich e einsetze krieg ich raus 2,71
falsch.
f(1/e)=1/e*ln(1/e) wie kommst du da auf das falsche 2,7..
Wenn was mit e rauskommt, also e, 1/e usw. würd ich das nicht als ungenaue Dezimalzahl angeben, sondern genau.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Mi 05.03.2008 | | Autor: | amilade |
VIelen DANK leduart!
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