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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Di 19.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
| Aufgabe | | f(x) = x [mm] \wurzel{|x²-36|} [/mm] |
Hallo hab ein ziemliches Problem mit der Funktion.
Also erst ma das, was ich habe:
f(x) = x [mm] \wurzel{|x²-36|} [/mm] = [mm] \begin{cases} x \wurzel{x²-36}& \mbox{falls } x \mbox{e} ]-\infty;-6] \cup [6;\infty[ \\ x \wurzel{36-x²}& \mbox{falls } x \mbox{e} [-6;6] \end{cases}
[/mm]
1. Ableitungen:
f'(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{2x²-36}{\wurzel{x²-36}} & \mbox{falls } x \mbox{e} ]-\infty;-6[ \cup ]6;\infty[ \\ \bruch{36- 2x²}{\wurzel{36-x²}} & \mbox{falls } x \mbox{e} ]-6;6[ \end{cases}
[/mm]
f''(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{2x³-108x}{\wurzel{(x²-36)³}} & \mbox{falls } x \mbox{e} ]-\infty;-6[ \cup ]6;\infty[ \\ \bruch{108- 2x³}{\wurzel{(36-x²)³}} & \mbox{falls } x \mbox{e} ]-6;6[ \end{cases}
[/mm]
2. Definitionsmengen:
für f(x) = [mm] \IR; [/mm] für f'(x); f''(x) = [mm] \IR \setminus [/mm] {-6;6}
3. Symmetrie:
f(-x) = -f(x) -> symmetrisch zu U (0/0)
4. Stetigkeit/Polstellen:
stetig auf [mm] \IR; [/mm] keine Polstellen
5. Verhalten für betraglich große x-Werte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] f(x) = 0 (wie komme ich auf 0??) -> x-Achse ist Aysmptote
6. Schnittpunkte mit beiden Achsen:
X1 (0/0); X2 (-6/0); X3 (6/0)
Y (0/0)
7. Punkte mit horizontaler Tangente:
f'(x)=0: 2x²-36=0 -> [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{18}
[/mm]
Entscheidung: (da [mm] \wurzel{18} [/mm] für den 2. Fall definiert ist, setzte ich das in den 2. Fall, richtig?)
[mm] f''(\wurzel{18})= \bruch{108\wurzel{18} - 36}{\wurzel{18³}} [/mm] = 4 >0 -> Tiefpunkt an [mm] \wurzel{18} [/mm] (es muss doch ein Hochpunkt für [mm] +\wurzel{18} [/mm] rauskommen, wenn ich das in f(x) einsetze, bekomme ich den Hochpunkt an [mm] (\wurzel{18}/18), [/mm] was mache ich falsch?) dementsprechend bekomme ich für [mm] -\wurzel{18} [/mm] einen Hochpunkt, was eigentlich ein Tiefpunkt sein müsste.
8. Punkte mit vertikaler Tangente:
V1(-6/0); V2(6;0)
9. Wendepunkte:
f''(x)=0: x(108-2x²)=0 -> [mm] x_{1}=0; x_{2/3}=\pm \wurzel{54}
[/mm]
wie prüfe ich, ob an [mm] x_{2/3} [/mm] wirklich ein Wendepunkt liegt? Gibt es eine Möglichkeit das zu prüfen, ohne die 3. Ableitung der Funktion?
10. Wertemenge:
Müsste laut Hoch- /Tiefpunkt bei [-18;18] liegen
Wäre sehr nett, wenn jemand meine Angaben überprüfen könnte und mir bei evtl. Fehlern helfen kann!
LG Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei 5. ist der Limes für [mm] |x|->\infty [/mm] nicht 0, sondern [mm] +\infty [/mm] (->) bzw. [mm] -\infty [/mm] (< , da der Radikand für betragsmäßig große x auch immer größer wird und damit die gesamte Wurzel.
7.
Es kommt mir so vor, als wenn die 2. Ableitung nicht ganz stimmen würde! Die 1. ist aber noch richtig.
Also ich meine die 2. Ableitung der Teilfunkton, der sich von -6 bis 6 erstreckt. Wenn du eine Klammer um den Zähler schreibst und ein - vorsetzt, stimmt es (und hinter die 108 noch ein x setzt).
9.
Hier kannst du auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium argumentieren!
Und 10. verändert sich wegen neuer Erkenntnisse aus 5.
(Ansonsten wär es natürlich richtig).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 Di 19.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hallo Teufel,
danke für die Antwort. Was ist denn dan die Asymptote bei der Funktion wenn es gegen unendlich geht?
Ok mit der 2. Ableitung das verstehe ich, war ein Leichtsinnsfehler von mir. Habe wie bei der ersten Ableitung einfach die Vorzeichen gewechselt, hätte das doch nochmal extra ableiten sollen.
Aber wegen der Asymptote hätte ich gerne noch eine Antwort :)
LG Eva
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
Ich würde sagen, dass es keine Unendlichkeitsasymptoten gibt. Auf alle Fälle geht nämlich auch der Anstieg der Funktion ins unendliche, deshalb kann man da zumindest keine Gerade als Asymptote finden.
Anders als z.B. bei [mm] f(x)=2x+2+\bruch{1}{x²+4}, [/mm] wo man leicht y=2x+2 als Unendlichkeitsasymptote ablesen kann. f'(x) geht hier für [mm] |x|->\infty [/mm] auch gegen 2, wie man es erwarten kann.
So und jetzt gute Nacht, ich hau mich hin ;) 4 Stunden will ich wenigstens noch schlafen (soll kein Vorwurf sein, war ja eh noch bis eben wach)!
Gute Nacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:28 Di 19.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
danke nochma :) werd mich jetzt auch hinlegen.. war genug mathe für heute ;)
LG
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