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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] y=x^4/8+x^3-2x^2+4. [/mm] Bestimmen Sie die Ableitungen und berechnen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt sowie die Wendetangente. |
Hab alles abgeleitet und ausgerechnet. Aber ich vermute,dass ich habe einen Fehler, aber ich komme nicht darauf. Könnte jemand die Kurvendiskussion durchrechnen, ob ich wirklich einen Fehler habe?
Ableitungen:
[mm] y'=4x^3/8+3x^2-4x
[/mm]
[mm] y''=12x^2/8+6x-4
[/mm]
Nullstelle: x=-1,15
Extrempunkt: x=-7 (y' Null setzen)
Tiefpunkt: 27,5
Wendepunkt: x=0,6
y=3,5
Wendetangente: y=(-1,22)x+4,23
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du in den Ableitungen die Brüche kürzt, wirds einfacher:
also:
[mm] f(x)=\bruch{x^{4}}{8}+x³-2x²+4
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{4x^{3}}{8}+3x²-4x=\bruch{x^{3}}{2}+3x²-4x
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{3x^{2}}{2}+6x-4
[/mm]
Und für die hinreichende Bedingung für den Wendepunkt [mm] (f'''(x_{w})\ne0) [/mm] würde ich auch die dritte Ableitung noch bilden.
[mm] f'''(x)=\bruch{2*3x}{2}+6=3x+6
[/mm]
Zum Extrempunkt [mm] E(x_{e}/f(x_{e})) [/mm] (oder besser, den möglichen)
Notwendig:
[mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x^{3}}{2}+3x²-4x=0
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{x^{2}}{2}+3x-4\right)x=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2}+6x-8=0 [/mm] oder x=0
[mm] \Rightarrow x_{e_{1;2}}=-3\pm\wurzel{17}, x_{e_{3}}=0,
[/mm]
Damit schreibe mal deine drei Extrempunkte auf, mit dem Zusatz, Hoch- oder Tiefpunkt. (und y-Koordinate)
Zum Wendepunkt:
Auch hier musst du die zweite Koordinate noch bestimmen.
[mm] f''(x_{w})=0 [/mm] (Notw. Bed.)
[mm] \Rightarrow \bruch{3x^{2}}{2}+6x-4=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+4x-\bruch{8}{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{w_{1;2}}=-2\pm\wurzel{2+\bruch{8}{3}}=-2\pm\wurzel{\bruch{20}{3}}
[/mm]
Hinreichende Bed.
[mm] f'''(2\pm\wurzel{\bruch{20}{3}})\ne0 [/mm] (Wahr)
Somit sind deine Wendepunkte
[mm] W_{1}=(-2+\wurzel{\bruch{20}{3}};f(-2+\wurzel{\bruch{20}{3}}))
[/mm]
[mm] W_{2}=(-2-\wurzel{\bruch{20}{3}};f(2-\wurzel{\bruch{20}{3}}))
[/mm]
Berechne damit mal deine Tangente, und schreibe den Weg hier rein, dann prüfen wir, ob es passt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 So 06.01.2008 | | Autor: | Mia_Marie |
Dank fürs korrigieren! Im Prinzip ist alles falsch nur die Nullstelle hat gepasst.
Mit deiner Hilfe hab ich die ganze Aufgabe nochmal neu gerechnet.
Bei den Wendepunkten hab ich den x1-Wert : 0,58 und den y1-Wert : 3,53
Bei x2 : -4,58 und y2 : -79,02
Wendetangente:
y=kx+d
3,53=k*0,58+d -> [mm] k=y'(0,58)=0,58^3/2+3*(0,58)^2-4*0,58 [/mm] = -1,23
4,23 = d
y=-1,23x+4,23
y=kx+d
-79,02=k*(-4,58)+d -> k=y'(-79,02) = 228290,37
1045490,87 = d
y=228290,37x+1045490,87
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