Kurvendiskussion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten, das Verhalten
an Unstetigkeitsstellen und das Verhalten für beliebig große und beliebig kleine Argumente. |
So, ich habe jetzt alle meine Kurvendiskussionen soweit wie ich wusste was ich machen soll..... Nun soll ich noch:
Das Krümmungsverhalten, das Verhalten an Unstetigkeitsstellen und das Verhalten für beliebig große und beliebig kleine Argumente bestimmen...
Was muss ich hier tun? Was brauche ich hierfür? Habe Extremas, Wendepunkte, Achsenschnittpunkte und Asymptoten berechnet....
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Krümmung ist zwischen 2 Wendepunkten immer gleich, das Vorzeichen der 2. Ableitung gibt das krümmungsverhalten f''>0 Krümmung wie [mm] x^2 [/mm] , Bezeichnungen dafür variieren.
Verhalten an Unstetigkeitsstellen : meistens Pole, also senkrechte Assymptoteen, mit oder ohne Zeichenwechsel.
Verhalten für x gegen [mm] \pm\infty, [/mm] entweder Assymptote, oder einfach gegen [mm] \infty
[/mm]
Bsp: [mm] x^3+x-1 [/mm] für x gegen [mm] \+infty [/mm] gegen [mm] +\infty, [/mm] für x gegen [mm] -\infty [/mm] gegen - [mm] \inty.
[/mm]
[mm] (x^2+2)/(x^2-x+1) [/mm] gegen die Gerade y=1 für x gegen [mm] \pm\infty.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Wie gebe ich dann das Krümmungsverhalten für diese Funktion an?
[mm] \bruch{2x^2+1}{x^2-2x}
[/mm]
Wenn ich die Bedingung für den Wendepunkt nehme, dann weiß ich f´´´(x) ist größer null (habe den x-Wert des WP in die 3. Ableitung eingesetzt). Das heuißt hier liegt eine Linkskrümmung vor...... Aber das Schaubild ist doch viel mehr, als diese eine Krümmung... ist das trotzdem richtig?
Hier ist es mir absolut klar: [mm] \bruch{x^2}{x^2+1}
[/mm]
Hier habe ich 2 WP... x-Werte in f´´´(x) eingesetzt gibt einmal einen negativen Wert und einmal einen positiven Wert.. Also von negativ nach poitiv gesehen, habe ich zuerst eine Rechtskrümmung und dann eine Linkskrümmung... so sieht auch meine Funktion aus.. ist klar....
aber beim ersten Beispiel oben ist es mir nicht klar... Die Funktion hat ja, wenn ich mir das Schaubild anschaue, mehr oder weniger, 3 Teile... hiermit beschreibe ich ja aber nur den einen Teil..... ich hoffe ihr versteht mein Problem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Do 03.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier musst du halt die Intervalle betrachten, die durch die Wendepunkte und die Definitionslücken entstehen.
Also bei [mm] f(x)=\bruch{2x²-1}{x²-2x}:
[/mm]
Also das erste Intervall wäre
[mm] I_{1}=]-\infty;\approx-1,8] [/mm]
(Der Wendepunkt mit der x-Koordinate [mm] \approx-1,8)
[/mm]
Das zweite Intervall:
[mm] I_{2}=[\approx-1,8;0[ [/mm]
(Def-Lücke bei x=0)
[mm] I_{3}=]0;2[ [/mm]
(Def-Lücke bei x=2)
[mm] I_{4}=]2;+\infty[
[/mm]
Auf diesen Intervallen betrachtest du jetzt jeweils das Krümmungsverhalten, indem du die Krümmung an einem Wert innerhalb der Intervalle betrachtest. Innerhalb dieser ändert sich die Krümmung dann nicht.
Marius
|
|
|
| |
|
Okay... das klingt logisch... aber da hab ich gleich mal noch ne Frage...
Nehmen wir die Funktion [mm] \bruch{x^2}{x^2+1}
[/mm]
WP hier (0,333/0,25) und (-0,333/0,25)
Müsste ich das dann hier ebenfalls ins Intervalle zerlegen? Also so:
Intervall 1 -unendlich bis -0,333 (diese ausgeschlossen)
Intervall 2 -0,333 bis 0,333
Intervall 3 0,333 (ausgeschlossen) bis +unendlich
Jetzt mein Problem... nehmen wir das erste Intervall... Hier suche ich mir jetzt einfach mal einen Wert aus -0,5 den setzte ich in f´´´(x) ein
f´´´(x) ist hier [mm] \bruch{24x^3-24x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
wenn ich nun diesen Wert einsetzte, kommt ein poitiver Wert raus... positiver Wert bedeutet Linkskrümmung... aber wenn ich mir mein Schaubild anschaue, sollte doch eigentlich eine Rechtskrümmung rauskommen oder schau ich das falsch an?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Natürlich kriegst du beim Einsetzen von 0.5 in der dritten Aleitung positiv raus,weil du grade die wedepunkte falsch berechnet hast,also nach meiner Rechnung kommt (-0.58,0.25) und (0,58,0.25) raus,also du musstest eine Zahl kleiner als -0.58 oder größer als 0.58 einsetzen!
Grüß ,Omid
|
|
|
| |
|
Hab sie richtig berechnet... hab nur das Wurzelzeichen vergessen... aber die eingesetzte Zahl war falsch... aber dann müsste doch -0,7 ok sein zum einsetzten..... aber da kommt trotzdem immer noch ne linkskrümmung raus.....
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ich denke,Du hast entwider falsch abgeleitet oder falsch berechnet,weil ich gerade -0.7 in meiner zweiten Ableitung eingesetzt und habe ich -1.4 bekommen.
Grüss
Omid
|
|
|
| |
|
Na ich hab das in die 3.te Ableitung eingesetzt.... ich dachte immer wenn bei der 3.Ableitung größer null rauskommt dann ist es eine linkskrümmung und kleiner null eine rechtskrümmung.....
|
|
|
| |
|
Hi,
Nein,Du hast mit der dritten Ableitung nicht zu tun,wenn du die Konvexitet oder Konkavität bestimmen willst,du setzt deine Zahl in der zweiten Ableitun wenn es positiv raus kommt heißt Konvex(Linkskrümmung) und wenn es negativ ist,heißt Konkav(Rechtskrümmung).
Omid
|
|
|
| |
|
Das erklärt natürlich alles... siehe da mit der 2.Ableitung ist es so wie es sein soll....
was muss ich denn tun wenn ich das verhalten an unstetigkeitsstellen bestimmen soll... ist die Unstetigkeit hier nicht an den Def. Lücken... also an 0 und 2? Aber was soll ich da tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 03.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier musst du die Grenzwertbetrachtung durchführen, und zwar jeweils von links [mm] x^{-} [/mm] und rechts [mm] x^{-}
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^{+}}f(x)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^{-}}f(x)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2^{+}}f(x)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2^{-}}f(x)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Okay.... wenn ich das nun hier einmal berechne, dann mach ich das so:
erstmal für x gegen null:
[mm] \bruch{2x^2+1}{x^2-2x} [/mm] = [mm] \bruch{4x}{2x-2} [/mm] = 0
für x gegen 2 kommt dann 4 raus....
soweit richtig? Was sagen mir nun diese Zahlen? Wie verhält sich denn die Funktion nun an Unstetigkeitsstellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay.... wenn ich das nun hier einmal berechne, dann mach
> ich das so:
>
> erstmal für x gegen null:
> [mm]\bruch{2x^2+1}{x^2-2x}[/mm] =
> [mm]\bruch{4x}{2x-2}[/mm] = 0
Wie du auf diese Gleichheit kommst versteh ich nicht! für x<0 xgegen 0 hab ich doch mit x=-h
[mm] \bruch{2h^2+1}{-h(*(-h-2)} [/mm] also Zähler immer positiv, Nenner klein und auch positiv, also GW [mm] +\infty.
[/mm]
bei x=+h ist der Nenner negativ, also gegen [mm] -\infty
[/mm]
D.h. bei x=0 hat man einen Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -
mach es entsprechend für x gegen 2
> für x gegen 2 kommt dann 4 raus....
auch das versteh ich nicht!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Na ich hab beides nach L´Hopital gemacht........... oberes abgeleitet, unteres abgeleitet und dann 0 eingesetzt... macht bei mir 0/2 und das ist null...... also genauso wie ich es mit 2 auch gemacht habe.. und auf die 4 kommst du ja wohl auch...
|
|
|
| |
|
Hallo Tigerbaby!
Für den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2x^2+1}{x^2-2x}$ [/mm] ist die anwendung mit de l'Hospital nicht zulässig, weil hier mit [mm] $\bruch{1}{0}$ [/mm] keiner der beiden de l'Hospital-Fälle [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{\pm\infty}{\pm\infty}$ [/mm] auftritt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst das Vorzeichen von f'' für die Krümmung untersuchen. die krümmung im WP ist 0.
wenn du f''' im WP untersuchst und es ist pos, heisst das, dass f'' links vom WP neg, rechts pos ist. bis zum nächsten WP ist dann das Vorzeichen gleich.
Gruss leduart.
(Wenn du f''' ausserhalb des WP untersuchst, siehst du nur ob f'' steigt oder fällt, aber nicht, welches Vorzeichen es hat.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
und negativ ist eine rechtskrümmung und poitiv eine linkskrümmung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechts und linkskrümmung werden nicht immer gleich gebraucht. da musst du nachsehen, wie ihr das gemacht habt.
f''>0 heisst wie Normalparabel gekrümmt also wie [mm] f(x)=x^2 [/mm] f''< 0 wie [mm] f(x)=-x^2
[/mm]
das wird meist als rechts Krümmung bezeichnet.
Gruss leduart
|
|
|
|
