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| Aufgabe | | Führen sie für die Funktion f mit f(x)= [mm] x^2*e^x [/mm] eine Kurvendiskussion durch und stellen sie f im Intervall [-6;1] graphisch dar. |
Hi, ich schon wieder! Also, zuerst habe ich die Nullstellen bestimmt, die da wären: X=0.
Dann die Lage der Extremwerte, dazu brauche ich ja die Nullstellen der ersten Ableitung: [mm] f´(x)=(2x+x^2)*e^x. x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=-2.
[/mm]
Dann habe ich die Art der Extremwerte bestimmt, dazu setze ich die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite [mm] (f´´(x)=(2+2x+2x+x^2)*e^x)ein [/mm] und erhalte: f´´(0)=2 also Minimum und f´´(-2)=-0,271 also Maximium.
Als nächstes habe ich die Lage der Wendepunkte bestimmt. Das sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, also [mm] x_1=-3,4142 [/mm] und [mm] x_2=-0,5858.
[/mm]
Dann muss ich ja die Funktionswerte für alle markanten Punkte bestimmen, d.h. ich muss alle Nullstellen die ich jetzt so raus bekommen habe in die normale Funktion einsetzen, oder?
Ist das überhaupt richtig, was ich hier gemacht hab? Wäre echt super lieb wenn hier mal einer drüber schauen könnte.
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mi 29.08.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Führen sie für die Funktion f mit f(x)= [mm]x^2*e^x[/mm] eine
> Kurvendiskussion durch und stellen sie f im Intervall
> [-6;1] graphisch dar.
> Hi, ich schon wieder! Also, zuerst habe ich die
> Nullstellen bestimmt, die da wären: X=0.
> Dann die Lage der Extremwerte, dazu brauche ich ja die
> Nullstellen der ersten Ableitung: [mm]f´(x)=(2x+x^2)*e^x. x_1=0[/mm]
> und [mm]x_2=-2.[/mm]
> Dann habe ich die Art der Extremwerte bestimmt, dazu setze
> ich die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite
> [mm](f´´(x)=(2+2x+2x+x^2)*e^x)ein[/mm] und erhalte: f´´(0)=2 also
> Minimum und f´´(-2)=-0,271 also Maximium.
> Als nächstes habe ich die Lage der Wendepunkte bestimmt.
> Das sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, also
> [mm]x_1=-3,4142[/mm] und [mm]x_2=-0,5858.[/mm]
Das sieht bis hier ja so professionell aus, daß ich es gar nicht lange nachrechne.
> Dann muss ich ja die Funktionswerte für alle markanten
> Punkte bestimmen, d.h. ich muss alle Nullstellen die ich
> jetzt so raus bekommen habe in die normale Funktion
> einsetzen, oder?
Du bist ein freier Mensch, und deswegen mußt du nichts. Aber du kannst das so machen, wenn das bei euch üblich ist. Du kannst dir auch überlegen, wie der Graph im Großen verläuft, also für x [mm] \to -\infty [/mm] und für x [mm] \to \infty. [/mm] Wenn dir das auch noch klar ist, müßtest du ihn qualitativ aufs Papier zaubern können.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Da weiß ich aber nicht, wie es geht. Wenn du es mir erklärst kann ich es versuchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 29.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Nullstellen der ersten Ableitung sind ja die (möglichen) x-Koordinaten [mm] x_{e_{1}} [/mm] und [mm] x_{e_{2}} [/mm] der Extrempunkte, die der zweiten Ableitung die x-Koordinaten [mm] x_{w} [/mm] der Wendepunkte.
Die Punkte haben ja nun auch noch eine y-Koordinate was ja dem Funktionswert entspricht.
Also musst du für die Extrema und Wendepunkte diese jeweils noch berechnen.
Dafür setzt du diese Werte in f(x) ein.
Also:
[mm] f(x_{e_{1}})=f(-2)=(-2)²*e²=4e^{-2}\approx0,54
[/mm]
f(0)=0
Also sind (-2/0,54) und (0/0) die Extrempunkte.
Den Wendepunkt konkret zu errechnen überlasse ich jetzt dir 
Marius
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Dafür muss ich doch die Lage der Wendepunkte in die erste Ableitung einsetzen. Also:
[mm] f´(x)=(2x+x^2)*e^x
[/mm]
f´(-3,4142)=0,159
f´(-0,5858)=-0,461.
Oder soll ich Lage der Wendepunkte in die Funktion einsetzen?
Sorry, damit bekomme ich ja nur die Steigung und nicht den Punkt, also in die Funktion einsetzen.
f´(-3,4142)=0,3835 und f´(-0,5858)=0,191 Ja?
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Hallo!
Du hast jetzt eine Sammlung mit besonderen x-Werten. Um das alles einzuzeichnen, benötigts du die y-Werte, wie oben schon geschrieben wurde. Das heißt, daß du diese x-Werte IMMER in f(x) einsetzt, denn das ergibt die zugehörigen y-Werte.
Bei den Nullstellen ist das langweilig, bei den Extrema stehts schon da, und nun mußt du das noch für Wendepunkte machen.
Allerdings mußt du noch ausrechnen, was für WEndestellen du hast, also li-re oder re-li.
Diesen Haufen Koordinaten kannst du in ein Koordinatensystem einzeichnen, und am besten klein daneben schreiben, was das für eine besondere Stelle der Funktion ist. Meinetwegen kannst du auch schon mit nem Symbol andeuten, was das für Punkte sind.
Wenn du dann zeichnest, achte vor allem darauf, daß du keine extra Extrema und Wendestellen einzeichnest, insbesondere bei Wendestellen passiert das ziemlich schnell!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mi 29.08.2007 | | Autor: | Chrissi21 |
Vielen dank euch allen und ich wünsche euch noch einen schönen Tag!
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