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| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
Zeigen Sie: Wenn die Kurve keine Extrempunkte hat, dann gibt es keine Wendepunkte und umgekehrt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
Gesucht :
a.) Zeigen Sie: Wenn die Kurve keine Extrempunkte hat, dann gibt es keine Wendepunkte und umgekehrt.
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Meine Frage ist jetzt, wie ich dies zeigen soll. Wir haben nur gelernt Extrempunkte oder Wendepunkte zu berechnen aber nicht diese zu zeigen ohne das wir die Variablen angegeben haben.
Danke für ihre hilfe
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> Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
> Zeigen Sie: Wenn die Kurve keine Extrempunkte hat, dann
> gibt es keine Wendepunkte und umgekehrt
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
>
> Gesucht :
> a.) Zeigen Sie: Wenn die Kurve keine Extrempunkte hat,
> dann gibt es keine Wendepunkte und umgekehrt.
>
> Meine Frage ist jetzt, wie ich dies zeigen soll. Wir haben
> nur gelernt Extrempunkte oder Wendepunkte zu berechnen aber
> nicht diese zu zeigen ohne das wir die Variablen angegeben
> haben.
>
> Danke für ihre hilfe
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{Erst einmal die Ableitungen bilden:}
[/mm]
[mm] $f:f(x)=ax^2+b+\bruch{c}{x^2} \Rightarrow f':f'(x)=2ax-\bruch{2c}{x^3} \Rightarrow f'':f''(x)=2a+\bruch{6c}{x^4} \Rightarrow f''':f'''(x)=\bruch{-24c}{x^5}$
[/mm]
[mm] \text{Allgemein die möglichen Extremstellen berechnen:}
[/mm]
[mm] \text{NB:}\;$f'(x_{0})=0$
[/mm]
$f'(x)=0 [mm] \gdw 2ax-\bruch{2c}{x^3}=0 \gdw 2ax^4-2c=0 \gdw x^4=\bruch{c}{a} \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel[4]{\bruch{c}{a}}$
[/mm]
[mm] \text{Ein Wurzelausdruck ist nur für postive x-Werte (inkl. 0) definiert. Es gibt also nur mögliche Extremstellen, wenn:}
[/mm]
[mm] $c\wedge [/mm] a < 0$
[mm] \text{oder}
[/mm]
[mm] $c\wedge [/mm] a > 0$
[mm] \text{Anders gesagt: es gibt nur mögliche Extremstellen, wenn a und c dasselbe Vorzeichen haben.}
[/mm]
[mm] \text{Jetzt allgemein die möglichen Wendestellen berechnen:}
[/mm]
[mm] \text{NB:}\;$f''(x_{0})=0$
[/mm]
$f''(x)=0 [mm] \gdw 2a+\bruch{6c}{x^4}=0 \gdw 2ax^4+6c=0 \gdw x^4=-\bruch{3c}{a} \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel[4]{-\bruch{3c}{a}}$
[/mm]
[mm] \text{Es gibt also nur mögliche Wendestellen, wenn a und c verschiedene Vorzeichen haben.}
[/mm]
[mm] \text{Deshalb kann die zu anfangs genannte Aussage nicht gezeigt werden, weil sie nicht wahr ist.}
[/mm]
[mm] \text{Sollt ihr wirklich genau das zeigen?}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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| Aufgabe | 1.) Wie sind die Parameter a,b und c zu wählen, damit die Kurve f(x) die Nullstelle x0=4 hat, durch den Punkt P(-5/-25,92) geht und im Punkt Q (2,5/....) eine zur Geraden g(x)=5-8,856x parallele Tangente hat?
2.) Ermitteln Sie das Bildungsgesetz der Tangente t(x) an die Kurve in der Nullstelle x0=4. Unter welchem Winkel schneiden einander die Tangente und die Gerade g(x)?
3.) Wie lautet das Bildungsgesetz einer quadratischen Parabel p(x), welche die Kurve in den äußersten Nullstellen berührt?
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Danke einmal für die Hilfe der ersten Frage, ich weiß leider auch nicht welche Antwort der Professor von uns will? Mehr Angabe habe ich leider auch nicht zu dieser Frage.
Doch dieses Beisp ist noch nicht zu Ende, es gibt einige Unterpunkte wo ich leider auch nicht weiß wie ich diese lösen muss!?
Vielleicht könntest du mir hier auch noch weiter helfen da ich leider nicht weiß wie ich hier anfangen soll oder keine Ahnung vom Bildungssatz einer Tangente oder einer quadratischen Parabel habe?
Danke für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Di 28.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1.) Wie sind die Parameter a,b und c zu wählen, damit die
> Kurve f(x) die Nullstelle x0=4 hat, durch den Punkt
> P(-5/-25,92) geht und im Punkt Q (2,5/....) eine zur
> Geraden g(x)=5-8,856x parallele Tangente hat?
Hallo:
Du suchst eine Parabel der Form ax²+bx+c mit flgenden Eigenschaften:
[mm] 1)x_{0}=4\Rightarrow [/mm] f(4)=0
2)P auf Graph [mm] \Rightarrow [/mm] f(-5)=-25,92
3)An der Stelle 2,5 die parallele Tangente hat.
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(2,5)=-8,856
Also
f(x)=ax²+bx+c
f'(x)=2ax+b
Das heisst, die drei Bedingungen ergeben folgendes GLS
[mm] \vmat{16a+4b+c=0\\25a-5b+c=-25,92\\5a+b=-8,856}
[/mm]
Das musst du jetzt lösen.
>
> 2.) Ermitteln Sie das Bildungsgesetz der Tangente t(x) an
> die Kurve in der Nullstelle x0=4. Unter welchem Winkel
> schneiden einander die Tangente und die Gerade g(x)?
>
Es gilt t(x)=mx+n
Da ja t eine Tangente an der Stelle 4 sein soll, muss gelten:
m=f'(4)
Also t(x)=f'(4)*x+n
Und da 4 Nullstelle des Graphen ist, gilt: t(4)=0
Also
[mm] 0=f'(4)*4+n\gdw [/mm] n=-f'(4)*4
f'(4) musst du aus oben gebildeter Funktion noch errechnen.
> 3.) Wie lautet das Bildungsgesetz einer quadratischen
> Parabel p(x), welche die Kurve in den äußersten Nullstellen
> berührt?
Wenn du die Nullstellen von f hast ich nenne sie man [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}, [/mm] kannst du die Parabel aufstellen und zwar soll gelten:
[mm] p(x_{1})=f(x_{1})
[/mm]
und [mm] p'(x_{1})=f'(x_{1}), [/mm] da sich die Graphen ja berühren sollen.
Dasselbe soll für [mm] x_{2} [/mm] gelten.
>
> Danke einmal für die Hilfe der ersten Frage, ich weiß
> leider auch nicht welche Antwort der Professor von uns
> will? Mehr Angabe habe ich leider auch nicht zu dieser
> Frage.
>
> Doch dieses Beisp ist noch nicht zu Ende, es gibt einige
> Unterpunkte wo ich leider auch nicht weiß wie ich diese
> lösen muss!?
> Vielleicht könntest du mir hier auch noch weiter helfen da
> ich leider nicht weiß wie ich hier anfangen soll oder keine
> Ahnung vom Bildungssatz einer Tangente oder einer
> quadratischen Parabel habe?
>
> Danke für deine Hilfe
Marius
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