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| Aufgabe | NST und Ableitungen der Funktion
[mm] f_{a}(x)= (e^x-a)^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich hab heute diese Funktion bekommen und soll jetzt Nullstellen; Ableitungen machen:
[mm] f_{a}(x)= (e^x-a)^2
[/mm]
Ist das jetzt ab Anfang bei den NST eine binomische Formel ?
also [mm] (e^x-a) [/mm] * [mm] (e^x-a)
[/mm]
Danke
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Hallo Sebastian!
...und einen schönen Tag!!
Mal vorweg: Ja, ist handelt sich um eine "binomische Formel".
....so, jetzt aber mal zu den Nullstelen der Funktion:
[mm]f_a(x)=(e^x-a)^2[/mm]
Da du nun weist, dass eine Nullstelle vorliegt, der Funktionsterm also Null wird, wenn die Klammer Null wird, musst du also überlegen, für welche [mm]x[/mm] die Klammer dies tut.
...also muss folgender Teiterm nach [mm]x[/mm] aufgelöst werden, dabei aber auch der Parameter [mm]a[/mm] beachtet!
Dieses ist besonders nötig, da keine Einschrenkungen für den Parameter [mm]a[/mm] gelten zu scheinen.
Das geht dan so:
[mm]e^x-a=0[/mm]
...und das kann man schön umformen; man erhält...
[mm] \gdw[/mm] [mm]e^x=a[/mm]
...das nun logarithmieren mit dem [mm]ln[/mm], man erhält:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x=ln(a)[/mm]
...so, nun hätte man die Nullstelle...jedoch: Der [mm]ln[/mm] stellte noch Bedingungen an den den Parameter [mm]a[/mm].
...eine Fallunterscheidung:
Gilt [mm]a=1[/mm] so ist die Nulstelle [mm]N=0[/mm].
Gilt [mm]a\le0[/mm] so existiert, zumindest nicht in [mm]\IR[/mm], keine Nullstelle der Funktion.
Gilt [mm]a>0\wedge a\not=0[/mm], so existiert eine Nullstelle [mm]N=ln(a)[/mm].
Ich hoffe, dies hilft dir weiter... und ich habe keinen Fehler gemacht !
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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Hi, danke noch einmal für deine schnelle Antwort!
Du hast doch oben selbst gesagt das es eine binomische Formel ist, aber warum hast du das hoch 2 einfach weckgelassen ?
$ [mm] (e^x-a) [/mm] * [mm] (e^x-a) [/mm] $
Ich komme da auf:
[mm] 2e^x [/mm] + [mm] e^x*-a [/mm] + [mm] e^x*-a [/mm] + [mm] a^2
[/mm]
oder ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Ltd83 |
also zum Thema "binomische Formel". Das brauchst du hier gar nicht. Es gilt zwar [mm] (e^x-a)^2=0 [/mm], aber daraus folgt lediglich, dass einer der beiden Faktoren also [mm] e^x-a=0 [/mm] sein muss, also kannst du die gleichung einfach nach x auflösen und erhälst den Logarithmus von a als Lösung. Wahrscheinlich ist in der Aufgabe auch noch [mm]a>=0 [/mm] gegeben, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Sebastian- |
Ja stimmt, hab ich übersehen..........sry^_^
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Spielt das hoch 2 eigentlich bei den Ableitungen eine Rolle ?
Wenn mir jemand die erste machen könnte dann hätte ich eine Grundlage für die 2te und 3te :O)
thx!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Ltd83 |
du machst es einem echt nicht leicht ;)
also die Ableitung der e-Fkt. ist ja bekanntlich die e-Fkt, oder? und die ableitung einer quadratischen funktion ist bakanntlich [mm](x^2)'=2x[/mm]. außerdem kennst du doch die kettenregel, die besagt [mm]f=f(g(x))\Rightarrow f'(x)=\partial f/ \partial g *\partial g / \partial x [/mm]. Da das jetzt alles geklärt ist, dürfte es wirklich keine Probleme mehr geben, oder?
[mm]f(g(x))=(e^x-a)^2, g(x)=e^x-2
\Rightarrow f'(x)= 2*g(x)*(e^x-a)'=2*(e^x-a)*e^x[/mm]
kannst du natürlich auch umständlicher über die produktregel machen und da kommt das gleiche raus.
und fertig :)
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