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| Aufgabe | Diskutieren Sie die ganzrationalen Funktion mit folgender Funktionsgleichung.
[mm]
f(x) = -\bruch{1}{6} x^4 + x^2 - \bruch{4}{3}x + \bruch{1}{2};\quad x \in d(f) = [-4 ; 2]
[/mm]
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Hallo,
habe leider Probleme bei der Berechnung von Nullstellen und Extremwerten sobald die Funktion im 3. Grad (oder höher) ist.
Könnt ihr mir da mal etwas weiterhelfen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo christiano;
also wenn du 3. grad oder höher hast, dann schaust du erstmal ob du die funktion ausklammern kannst, dies kannst du tun wenn kein absolutes Glied vorhanden ist. Zweite möglichkeit ist [mm] x^2 [/mm] durch z zu ersetzen, das geht hier aber auch nicht:) die letzte möglichkeit ist leider die polynomdivision, da kommt man nicht rum;)
Bei der Polynomdivision teilst du die Funktion durch die geratene Nullstelle. Die geratene Nullstelle muss aber ein Teiler des Koeffizienten sein.
Also teilst du die Funktion durch ... / ( x +1)
Dann müsstest du eine eine quadratische funktion bekommen, wo du die pq formel anwenden kannst.
Ich hoffe ich konnte dir bisschen behilflich sein.. Gruß
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Hallo christiano und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Diskutieren Sie die ganzrationalen Funktion mit folgender
> Funktionsgleichung.
>
> [mm]
f(x) = -\bruch{1}{6} x^4 + x^2 - \bruch{4}{3}x + \bruch{1}{2};\quad x \in d(f) = [-4 ; 2]
[/mm]
>
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> Hallo,
>
> habe leider Probleme bei der Berechnung von Nullstellen und
> Extremwerten sobald die Funktion im 3. Grad (oder höher)
> ist.
>
Ich würde zunächst mal [mm] -\frac{1}{6} [/mm] ausklammern, damit die Koeffizienten ganzzahlig werden:
$f(x) = [mm] -\bruch{1}{6} (x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 8x + 3)$
dann die Klammer =0 setzen, um die Nullstellen zu finden.
Bist du sicher, dass du dich nicht verschrieben hast? Es kommen nicht gerade "schöne" Nullstellen heraus.
> Könnt ihr mir da mal etwas weiterhelfen?
>
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 13.11.2006 | | Autor: | christiano |
> Hallo christiano und ,
Hallo zurück. Danke für die schnellen Antworten
> Ich würde zunächst mal [mm]-\frac{1}{6}[/mm] ausklammern, damit die
> Koeffizienten ganzzahlig werden:
> [mm]f(x) = -\bruch{1}{6} (x^4 - 6x^2 + 8x + 3)[/mm]
> dann die
> Klammer =0 setzen, um die Nullstellen zu finden.
> Bist du sicher, dass du dich nicht verschrieben hast? Es
> kommen nicht gerade "schöne" Nullstellen heraus.
DAs hört sich schonmal nach einem guten Tipp an :) Werd das jetzt einmal bearbiten und ggf. noch mal eine Rückfrage stellen.
Ja, ich bin mir sicher. Funktion ist korrekt. "Schöne" Nullstellen stiften auch nicht so viel Verwirrung... :D
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> Ich würde zunächst mal [mm]-\frac{1}{6}[/mm] ausklammern, damit die
> Koeffizienten ganzzahlig werden:
> [mm]f(x) = -\bruch{1}{6} (x^4 - 6x^2 + 8x + 3)[/mm]
> dann die
> Klammer =0 setzen, um die Nullstellen zu finden.
Hallo nochmal,
muss es nicht [mm] (x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 8x - 3) sein?
Haben dann durch Probieren x1 = 1 (wie oben auch schon geschrieben) ermittelt. Dann versucht die Polynomdivision zumachen. Störe mich nun jedoch am Rest. Ist das so überhaupt richtig?
[mm] (x^4 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 8x - 3) : (x + 1) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 5x + 13 Rest:-16
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm]
- [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 8x - 3
- [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm]
- [mm] 5x^2 [/mm] + 8x - 3
- [mm] 5x^2 [/mm] - 5x
13x - 3
13x + 13
- 16
Danke schonmal
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin christiano,
korrekt
wenn ich [mm] -\bruch{1}{6} [/mm] ausklammere erhalte ich
[mm] (x^4-6x^2+8x-3) [/mm]
eine nullstelle raten [mm] x_{1}=1
[/mm]
[meistens kann man im rahmen der schulmathematik diese einfach raten, z.b. 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; -1 ; -2 ; -3 ; 1/2 ...]
bei der polynomdivision musst du die funktion durch (x minus nullstelle) teilen, also hier nicht durch (x+1) sondern durch (x-1).
ich denke, du musst danach noch eine nullstelle raten, z.b. [mm] x_{2}=-3
[/mm]
polynomdivision dann durch (x- (-3)) = (x+3) gut.
zweites problem, extremstellen...
siehe hinweise oben.
1. ableitung bilden:
f'(x)= [mm] -\bruch{2}{3}x^3 [/mm] +2x - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
f'(x) null setzen ... und wiederum musst du (noch eine) nullstelle der ersten ableitung raten; z.b. [mm] x_{5}=1 [/mm] dann wieder polynomdivision...
und die anderen nullstellen durch pq-formel usw.
gruß
wolfgang
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Muss noch mal weiter fragen...
Habe zur Nullstellenbestimmung dies getan:
1. Polynomdivision; dafür x1 = 1 erraten
$ [mm] (x^4-6x^2+8x-3) [/mm] / (x-1) = [mm] x^3+x^2-5x+3 [/mm] $
2. Polynomdivision; dafür x2 = -3 erraten
$ [mm] (x^3+x^2-5x+3) [/mm] / (x+3) = [mm] x^2-2x+1 [/mm] $
Nun pq-Formel angewandt
x3/4 = 1
Habe also Nullstellen bei x1 = 1, x2 = -3 und eine doppelte bei x =1 schneidet die Achse nicht, berührt sie nur?
Schnittpunkt mit der Y-achse ist Sy [mm] (0/\bruch{1}{2}) [/mm] ?
Extremstellen:
abgeleitet, null gesetzt, koeffizienten ausgeklammert
nun also: $ 0 = [mm] x^3- [/mm] 3x +2 $ durch Probieren auf x5 = 1
nun wieder polynomdivision
$ ( [mm] x^3- [/mm] 3x +2 ) / (x-1) = [mm] x^2 [/mm] + x -2 $
Nun pq-Formel angewandt: x6= 1 x7= -2
Soweit richtig?
ist x=1 überhaupt ein extrempunkt. da in die 2. ableitung eingesetzt, diese ja 0 wird. ein tiefpunkt wohlmöglich, irgendwie erkennbar am vzw?
Ich habe für die Randextrema R1 = [mm] (-4/\bruch{125}{6}) [/mm] und R2 = [mm] (2/\bruch{-5}{6}
[/mm]
Haut das hin? Ich muss sagen ich bin mir bei jeder meiner Rechnungen wahnsinnig unsicher. Steh voll aufm Schlauch.
DAnke für die freundliche Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Di 14.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Muss noch mal weiter fragen...
>
> Habe zur Nullstellenbestimmung dies getan:
>
> 1. Polynomdivision; dafür x1 = 1 erraten
> [mm](x^4-6x^2+8x-3) / (x-1) = x^3+x^2-5x+3[/mm]
>
> 2. Polynomdivision; dafür x2 = -3 erraten
> [mm](x^3+x^2-5x+3) / (x+3) = x^2-2x+1[/mm]
>
> Nun pq-Formel angewandt
> x3/4 = 1
>
> Habe also Nullstellen bei x1 = 1, x2 = -3 und eine doppelte
> bei x =1 schneidet die Achse nicht, berührt sie nur?
>
> Schnittpunkt mit der Y-achse ist Sy [mm](0/\bruch{1}{2})[/mm] ?
richtig!
> Extremstellen:
>
> abgeleitet, null gesetzt, koeffizienten ausgeklammert
>
> nun also: [mm]0 = x^3- 3x +2[/mm] durch Probieren auf x5 = 1
>
> nun wieder polynomdivision
> [mm]( x^3- 3x +2 ) / (x-1) = x^2 + x -2[/mm]
>
> Nun pq-Formel angewandt: x6= 1 x7= -2
>
> Soweit richtig?
>
> ist x=1 überhaupt ein extrempunkt. da in die 2. ableitung
> eingesetzt, diese ja 0 wird. ein tiefpunkt wohlmöglich,
> irgendwie erkennbar am vzw?
wenn die 2. ableitung null ist, ist dort kein lokales extremum (weder noch!!)
gruß
wolfgang
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