Kurvenbestimmung (WP,HP,A) < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 20.10.2007 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | | Das Schaubild einer Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx hat bei x=1 einen Hochpunkt, bei x=2 einen Wendepunkt und schließt mit der x-Achse eine Fläche ein mit dem Inhalt 9 FE. Gib f(x) an. |
Wie löst man diese Aufgabe?
Es ist mir klar, dass
0= 3a+2b+c sein muss
Begründung
f'(x)=3ax²+2bx+c
f'(1)=0 , weil bei 1 ein Hochpunkt ist d.f.
0 = 3a+3b+c
0= 12a+2b
Begründung
f''(x)=6ax+2b
f''(2)=0 , weil bei 2 eine Wndepunkt ist
0=12a+2b
Und ich weiß auch, dass
F(x) in dem Grenzen der 1.Nullstelle und 0
+F(x) in den Grenzen von 0 und der 2.Nullstelle
= 9 FE sein muss.
Mein Probelm ist folgendes:
Wie kriege ich die Nullstellen herraus bzw. wie verarbeite ich den Flächeninhalt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Nullstellen kannst du doch bei ner quadratischen fkt. auch aus a,b,c ausrechnen, und daraus die Fläche.
eine andere Möglichkeit ist es die Funktion direkt über ihre unbekannten Nullstellen r und s zu schreiben:
f(x)=A*(x-r)*(x-s) und auf diese fkt die 2 anderen Bedingungen anzuwenden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 20.10.2007 | | Autor: | inuma |
Hallo,
Das Probelm ist aber, dass ich eine Funktion 3 Grades habe.
Aus dieser kann ich natrülich ein x rausnehmen, sodass ich
y= ax²+bx+c erhalte
Jedoch ergeben sich bei der Auflösung dieser Gelichung nach Null mehrer Probleme
Explizit sieht, dass dann so aus:
-bx/2a +- [mm] \wurzel [/mm] {(b²x²/4a²-c/a)}
Außerdem muss ich wohl oder übel den Flächeninhalt mit einbeziehen, da er mir gegeben wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid, ich hatte den 3.ten Grades übersehen, aber damit hast du ja schon mal eine Nullstelle bei 0, und kannst die Funktion immer noch umschreiben in
y=a*x*(x-r)*x-s) und a,r,s als Unbekannte nehmen,
Ausserdem kannst du bennutzen, dass der Wendepunkt für jede fkt. dritten Grades der Symmetriepunkt ist, d.h. ein weiterer Extremwert liegt bei x=3 (einer bei 2-1 folgt der andere bei 2+1) d.h. r,s liegen rechts von 0, du musst also von 0 bis r und von r bis s integrieren,
deine Methode die 2 Schnittpunkte auszurechnen ginge zwar auch, aber das x hat in deiner Nullstelle nix verloren!Also entfern es aus deiner Term.
x1,2=b/2a [mm] \pm\wurzel{b^2/4a^2-c/a}
[/mm]
jetzt die Bedingungen b=-6a, c=-3a-3*(-6a)=15a einsetzen, die du ja schon hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 20.10.2007 | | Autor: | inuma |
Hallo
Ich hätte zwei Fragen zu deiner Antwort
Könntest du mir möglicherweise erkären, wie du auf dem zweiten Extremwert kommst.
Ich versteh dieses 2-1 und 2+1 Sache nicht.
Ich habe nur ein Problem bei der Wurzelüberlegungn:
x1,2=b/2a $ [mm] \pm\wurzel{b^2/4a^2-c/a} [/mm] $
jetzt die Bedingungen b=-6a, c=-3a-3*(-6a)=15a einsetzen, die du ja schon hast.
-6a/2a = -3
[mm] 36a^2/4a^2 [/mm] = 9
15a/a = 15
d.f.
-3 [mm] \pm\wurzel(9-15) [/mm]
Der Ausdruck unter der Wurzel wären negativ d.f nicht lösbar.
ICh habe noch einen Zusatz, der mir einfiehl.
0= 3a+2b+c
0= 3a+2*(-6a)+c
0= -9a+c
9a = c
Wenn man das einsetze würde unter der wurzel folgendes Stehen:
9-9 = 0
sodass
man nur eine nullstelle bei 3 hätte bzw. -3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo
> Ich hätte zwei Fragen zu deiner Antwort
> Könntest du mir möglicherweise erkären, wie du auf dem
> zweiten Extremwert kommst.
> Ich versteh dieses 2-1 und 2+1 Sache nicht.
>
Eine Funktion dritten Grades ist punktsymetrisch zu ihrem Wendepunkt. Wenn sie also irgendwo ein Max hat, dann punktsymetrisch zum Wendepunkt ein Minimum.
hier etwa : Wendepunkt bei x=2, Max bei x=1, folgt Min bei x=3.
Aber wenn ihr das mit der Symmetrie nicht gehabt habt, konntest du das nicht gut verstehen.
Wenn dus verstehen willst, plotte die mal ein paar fkt. dritten Grades, wo der Wendepkt ist sieht man ungefähr, und überprüf das.
Gruss lduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 20.10.2007 | | Autor: | inuma |
Also
f'(x)= 3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
[mm] F(x)=1/4ax^4+1/3bx^3+1/2cx^2
[/mm]
0=12a+2b d.f. -6a=b
0=3a+2b+c d.f. 3a+2*(-6a)+c; c=9a
[mm] 9=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Nullstellen
x1,x2= [mm] \bruch{-b}{2a}\pm \wurzel {\bruch{b²}{4a²}-\bruch{c}{a}}
[/mm]
Die obene erarbeiteten Bedinungen für b und c einsetzen und kürzen
x1,x2 = 3 [mm] \pm \wurzel{9-9} [/mm]
Die Nullestellen leigen somit bei 3 und bei 0 (die Ausgangsgelichung hatte in jedem Gleide ein x)
Intergartion
[mm] \integral_{0}^{3}{ax³+bx²+cx dx}
[/mm]
[mm] F=1/4ax^4+1/3bx^3+1/2cx^2 [/mm] Einsetzen von b/c
[mm] F=1/4ax^4-2ax^3+9a/2x^2 [/mm] Einsetzen von 3
A=81a/4-54a+81a/2 Zusammenfassen
9=7,5a Nach a umstellen
a= 6/5
b= -36/5 a eingesetzt
c= 54/5 a eingesetzt
f(x) [mm] =6/5x^3-36/5x^2+54/5x
[/mm]
Probe über die Ableitungen (HP und WP)
[mm] f'(x)=18/5x^2-72/5x+54/5
[/mm]
[mm] f'(x)=x^2-4x+3
[/mm]
x1,x2= [mm] 2\pm \wurzel{4-3}
[/mm]
x1=3
x2=1 (die ist einer dier gegebenden Hochpunkte)
f''(x)=36/5x-72/5
x=2 (der Wendepunkt)
Ich bitte darum möglich Fehler oder Fehleinschätzungen meiner Satz anzumerken.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 20.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast alles richtig!
ich hatte bei der Bestimmung von c nen Fehler! c=9a war richtig, c=15a war falsch!
Gruss leduart
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