Kurven und Rektifizierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 01.05.2014 | | Autor: | Tipsi |
| Aufgabe | Hallo, meine Aufgabe lautet folgendermaßen:
Gegeben ist die Kurve C mit Parameterdarstellung [mm] \gamma : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm]
[mm] \gamma(t)=(0,0), t=0, \gamma(t)=\sqrt(t)\cdot(cos(1/t), sin(1/t)), t>0[/mm]
1.) Ist [mm]\gamma[/mm] stetig?
2.) Ist C rektifizierbar?
3.) Ist [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar?
4.) Ist die entsprechende Kurve stetig differenzierbar? |
Leider ist das die erste Aufgabe zu Kurven, die ich zu lösen habe, darum kenne ich mich damit noch gar nicht aus.
Meine Ideen bis jetzt:
1.) habe ich überprüft, indem ich den Limes der Parameterdarstellung für t->0 berechnet habe und da ist auch (0,0) herausgekommen, also ist es meiner Meinung nach stetig. (Denn für t>0 ist die Funktion sowieso als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig.)
2.) Um die Rektifizierbarkeit zu prüfen, gibt es zwei Möglichkeiten:
Es muss gelten: [mm] sup\{\sum_{i=1}^m ||\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})||:m \in \mathbb{N}, \{t_0, ..., t_m\} Zerlegung von [0,1]\} < \infty [/mm]
Oder: Ist die Parameterdarstellung stetig differenzierbar, so ist C rektifizierbar.
Da bei mir herauskommt, dass sie nicht stetig differenzierbar ist, weil der Limes der Ableitung für t->0 unendlich ist, möchte ich es mit dem 1. Kriterium versuchen, aber ich weiß nicht wie bzw. wenn ich es mit einer äquidistanten Zerlegung mache, dann habe ich ja noch nicht gezeigt, dass es für jede Zerlegung gilt und ich weiß nicht, wie "sup" hier einfließt, also wie ich sup berechne und nicht inf.
3.) siehe 2.)
4.) verstehe ich leider schon die Angabe nicht, denn im Skript steht, dass Kurven die Äquivalenzklassen der Parameterdarstellungen sind und da ist mir nicht klar, wie ich die Kurve getrennt von der Parameterdarstellung betrachten kann.
Wäre echt toll, wenn ihr mir helfen könntet, da mein Unverständnis betreffend Rektifizierbarkeit noch sehr groß ist.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, hat jemand eine Idee für die Lösung meiner Frage?
Gebt mir bitte Bescheid, falls an der Fragestellung etwas unklar sein sollte.
LG
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> Hallo, meine Aufgabe lautet folgendermaßen:
> Gegeben ist die Kurve C mit Parameterdarstellung [mm]\gamma : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)=(0,0), t=0, \gamma(t)=\sqrt(t)\cdot(cos(1/t), sin(1/t)), t>0[/mm]
>
> 1.) Ist [mm]\gamma[/mm] stetig?
> 2.) Ist C rektifizierbar?
> 3.) Ist [mm]\gamma [/mm] stetig differenzierbar?
> 4.) Ist die entsprechende Kurve stetig differenzierbar?
> Leider ist das die erste Aufgabe zu Kurven, die ich zu
> lösen habe, darum kenne ich mich damit noch gar nicht aus.
> Meine Ideen bis jetzt:
> 1.) habe ich überprüft, indem ich den Limes der
> Parameterdarstellung für t->0 berechnet habe und da ist
> auch (0,0) herausgekommen, also ist es meiner Meinung nach
> stetig. (Denn für t>0 ist die Funktion sowieso als
> Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig.)
>
> 2.) Um die Rektifizierbarkeit zu prüfen, gibt es zwei
> Möglichkeiten:
> Es muss gelten: [mm]sup\{\sum_{i=1}^m ||\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})||:m \in \mathbb{N}, \{t_0, ..., t_m\} Zerlegung von [0,1]\} < \infty[/mm]
>
> Oder: Ist die Parameterdarstellung stetig differenzierbar,
> so ist C rektifizierbar.
> Da bei mir herauskommt, dass sie nicht stetig
> differenzierbar ist, weil der Limes der Ableitung für t->0
> unendlich ist, möchte ich es mit dem 1. Kriterium
> versuchen, aber ich weiß nicht wie bzw. wenn ich es mit
> einer äquidistanten Zerlegung mache, dann habe ich ja noch
> nicht gezeigt, dass es für jede Zerlegung gilt und ich
> weiß nicht, wie "sup" hier einfließt, also wie ich sup
> berechne und nicht inf.
>
> 3.) siehe 2.)
> 4.) verstehe ich leider schon die Angabe nicht, denn im
> Skript steht, dass Kurven die Äquivalenzklassen der
> Parameterdarstellungen sind und da ist mir nicht klar, wie
> ich die Kurve getrennt von der Parameterdarstellung
> betrachten kann.
>
> Wäre echt toll, wenn ihr mir helfen könntet, da mein
> Unverständnis betreffend Rektifizierbarkeit noch sehr
> groß ist.
> Danke
Hallo Tipsi,
dass bisher noch niemand geantwortet hat, liegt vielleicht
auch daran, dass die Aufgabe selber eher ein wenig
ungewohnt ist.
Aber ich versuche mal, eine (wenigstens teilweise)
Antwort zu geben.
1.) Dass die Kurve auch an der Stelle t=0 stetig ist,
ergibt sich leicht daraus, dass [mm] $\limes_{t\downarrow 0}\sqrt{t}=0$ [/mm] und weil
sowohl sin als auch cos nur Werte zwischen -1 und +1
annehmen können.
2.) Für die Untersuchung der Rektifizierbarkeit versuche
ich mir den Kurvenverlauf anschaulich vorzustellen. Es
ergibt sich eine Spirale, die sich infolge des Faktors [mm] \sqrt{t}
[/mm]
sehr langsam zum Nullpunkt rankringelt. Vermutung also:
die Länge könnte unendlich und damit die Kurve für [mm] t\to [/mm] 0
nicht rektifizierbar sein. Für einen Nachweis könnte man
nun versuchen, eine Minorante zu finden, die aus konzentrischen
Kreisen besteht, deren Gesamtlänge immer noch gegen [mm] \infty
[/mm]
strebt. Dabei wird ein Spiralenumlauf (für [mm] k*2\pi [/mm] < [mm] \frac{1}{t}\le (k+1)*2\pi [/mm] )
durch einen Kreisumfang ersetzt, der garantiert ein bisschen
kürzer ist.
3.) Um die stetige Differenzierbarkeit zu prüfen, würde
ich mir die entsprechende Ableitung mal zuerst formal
berechnen und dann deren Stetigkeit für t gegen 0 prüfen.
4.) Der Unterschied zwischen (3.) und (4.) ist wohl der,
dass man bei (4.) die "natürliche" Parametrisierung nehmen
soll, bei der man anstelle des vorherigen Parameters t den
neuen Parameter s hat, der die Bogenlänge darstellt. Gemäß
meiner anschaulichen Vorstellung ist dann die Kurve an der
Stelle t=0 offensichtlich nicht stetig differenzierbar, da man
dann einen Tangentialvektor erhält, dessen Länge gegen
1 strebt, aber dessen Richtung immer wilder um den Nullpunkt
herum wirbelt.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Tipsi |
Danke für deine Antwort, Al-Chwarizmi!
Es beruhigt mich, zu hören, dass die Aufgabe auch für euch eher ungewohnt ist, weil solche Berechnungen dann wohl nicht so oft vorkommen ^^
1.) und 3.) ist mir jetzt klar, das hätte ich auch so gerechnet.
Könntest du auf 2.) und 4.) vlt. noch näher eingehen?
Unter der Parameterdarstellung kann ich selbst mir nämlich gar nichts vorstellen, woran erkennst du denn, dass die Spirale so aussehen muss?
Was meinst du denn mit
"Dabei wird ein Spiralenumlauf (für $ [mm] k\cdot{}2\pi [/mm] $ < $ [mm] \frac{1}{t}\le (k+1)\cdot{}2\pi [/mm] $ )" genau? Kann ich damit die Zerlegungspunkte wählen?
Ist das bei 4.) somit die gleiche Rechnung, außer, dass ich den Parameter durch die Bogenlänge ersetze? Wenn ja: Die Formel für die Bogenlänge ist doch \frac{r\cdot \pi \cdot \alpha}{180}. Kenne ich \alpha denn?
LG
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Guten Tag Tipsi
Zu (2.):
> Unter der Parameterdarstellung kann ich selbst mir
> nämlich gar nichts vorstellen, woran erkennst du denn,
> dass die Spirale so aussehen muss?
> Was meinst du denn mit
> "Dabei wird ein Spiralenumlauf (für [mm]k\cdot{}2\pi[/mm] <
> [mm]\frac{1}{t}\le (k+1)\cdot{}2\pi[/mm] )" genau? Kann ich damit
> die Zerlegungspunkte wählen?
Für t>0 soll ja die Darstellung
[mm] $\gamma(t)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{t}\cdot \pmat{cos(1/t)\\ sin(1/t)}$
[/mm]
gelten. Mit dem Parameter [mm] u:=\frac{1}{t} [/mm] könnte man dies
auch so schreiben:
[mm] $\gamma(u)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \pmat{cos(u)\\ sin(u)}$
[/mm]
Anstatt t von 0 gegen [mm] \infty [/mm] lässt man nun u von [mm] \infty [/mm] gegen 0 streben.
Der Vektor [mm] \pmat{cos(u)\\ sin(u)} [/mm] ist ein Einheitsvektor mit dem
Richtungswinkel u. Mit wachsendem u rotiert der wie ein Uhrzeiger
um den Nullpunkt. Der dabei stehende Faktor [mm] \frac{1}{\sqrt{u}}
[/mm]
lässt nun aber die Länge des Zeigers mit wachsendem u gegen 0
streben. Somit beschreibt die Zeigerspitze des schrumpfenden Zeigers
eine Spirale. Sie macht dabei genau einen Umlauf, wenn der
Parameter u um [mm] 2\,\pi [/mm] wächst. Um die Spirale in passender
Weise zu zerstückeln, können wir also die u-Achse mit
Intervallen der konstanten Länge [mm] 2\,\pi [/mm] skalieren. Die ent-
sprechenden Intervalle auf der t-Achse werden dann natürlich
immer kürzer, wenn u gegen [mm] \infty [/mm] und t gegen 0 strebt.
Zu (4.):
> Ist das bei 4.) somit die gleiche Rechnung, außer, dass
> ich den Parameter durch die Bogenlänge ersetze? Wenn ja:
> Die Formel für die Bogenlänge ist doch \frac{r\cdot \pi \cdot \alpha}{180}.
> Kenne ich \alpha denn?
Na, mit dieser Bogenlänge-Formel hat das kaum etwas
zu tun.
Für die "natürliche" Parametrisierung einer Kurve soll der
dabei verwendete Parameter s der der Kurve entlang
gemessenen Kurvenlänge entsprechen. Man kann sich
dies so vorstellen, dass man das cm-Messband aus Mutters
Nähkästchen nimmt und es an die Kurve anlegt.
Ich kann dir empfehlen, zu dem Thema zuerst mal etwa zu
googeln: "Kurve natürliche Parametrisierung"
Gruß
Al-Chwarizmi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Tipsi |
Danke für deine Antwort und die anschauliche Erklärung.
> Zu (2.):
> Für t>0 soll ja die Darstellung
t soll lt. Angabe aus [0,1] sein
> [mm]\gamma(t)\ =\ \sqrt{t}\cdot \pmat{cos(1/t)\\ sin(1/t)}[/mm]
>
> gelten. Mit dem Parameter [mm]u:=\frac{1}{t}[/mm] könnte man
> dies
> auch so schreiben:
>
> [mm]\gamma(u)\ =\ \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \pmat{cos(u)\\ sin(u)}[/mm]
>
> Anstatt t von 0 gegen [mm]\infty[/mm] lässt man nun u von [mm]\infty[/mm]
Meinst du, statt t von 0 gegen 1 gehen zu lassen?
> gegen 0 streben.
Als Zerlegung für t mit m+1 Zerlegungspunkten würde ich t_0=0 und t_m=1 wählen. Wie sieht das dann für u aus? Soll ich dann u_0 = 1 und u_m = \infty nehmen?
> Der Vektor [mm]\pmat{cos(u)\\ sin(u)}[/mm] ist ein Einheitsvektor
> mit dem
> Richtungswinkel u. Mit wachsendem u rotiert der wie ein
> Uhrzeiger
> um den Nullpunkt. Der dabei stehende Faktor
> [mm]\frac{1}{\sqrt{u}}[/mm]
> lässt nun aber die Länge des Zeigers mit wachsendem u
> gegen 0
> streben. Um die Spirale in
> passender
> Weise zu zerstückeln, können wir also die u-Achse mit
> Intervallen der konstanten Länge [mm]2\,\pi[/mm] skalieren.
Meinst du mit u_1 = 2 \pi, u_2 = 4 \pi, u_k = 2k \pi ? Oder muss ich das alles zum Quadrat nehmen, weil u ja unter der Wurzel steht?
>Die
> ent-
> sprechenden Intervalle auf der t-Achse werden dann
> natürlich
> immer kürzer, wenn u gegen [mm]\infty[/mm] und t gegen 0 strebt.
>
LG
Tipsi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 05.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Zur Rektifizierbarkeit:
[mm] \gamma [/mm] ist rektifizierbar [mm] \gdw [/mm] die beiden Koordinatenfunktionen von [mm] \gamma [/mm] sind von beschränkter Variation.
FRED
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