Kurven äquivalent ? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 03.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Durch [mm] f: [-1,1] \to \IR^2, t \to f(t):=\vektor{t\\t} [/mm] wird eine parametrisierte Kurve in [mm] \IR^2 [/mm] definiert.
a) Untersuchen Sie, ob die folgenden parametrisierten Kurven zu f äquivalent sind:
[mm] f_1: [-1,1] \to \IR^2, t \to f_1(t):=\vektor{t^3\\t^3} [/mm]
[mm] f_2: [-2,2] \to \IR^2, t \to f_2(t):=\begin{cases} \vektor{t+1\\t+1} & \mbox{für } -2 \le t \le -1, \\ \vektor{0\\0} & \mbox{für } -1 < t < 1, \\ \vektor{t-1\\t-1} & \mbox{für } 1 \le t \le 2 \end{cases} [/mm]
[mm] f_3: ]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2} [ \to \IR^2, t \to f_3(t):=\vektor{sin t\\sin t} [/mm]
[mm] f_4: [-1,1] \to \IR^2, t \to f_4(t):=\vektor{1-2t^2\\1-2t^2} [/mm]
b) Mit [f] bzw. [mm] [f_4] [/mm] werden die durch f und [mm] f_4 [/mm] definierten Kurven bezeichnet. Zeigen Sie, dass [mm] [f] + (-[f]) = [f_4] [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich das mit der Äquivalenz richtig verstanden habe - hier ist mein Ansatz zu a) :
[mm] f_1 [/mm] ist äquivalent, weil f(-1) = [mm] f_1(-1) [/mm] und [mm] f(1)=f_1(1) [/mm] und weil [mm] f = f \circ f_1 [/mm] ist
[mm] f_2 [/mm] ist nicht äquivalent, weil [mm] f_2 [/mm] zwischen -1 und 1 den Funktionswert 0 hat, f aber nur im Punkt 0 den Funktionswert 0 hat.
[mm] f_3 [/mm] ist äquivalent, weil [mm] f(-1) = f_3(-\bruch{\pi}{2}), f(1)=f_3(\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] f=f \circ f_3 [/mm]
[mm] f_4 [/mm] ist nicht äquivalent, weil f(1) [mm] \not= f_4(1)
[/mm]
Zu b)
Das Intervall wird gedreht [mm] I=[-1,1] \to -I=[-(1),-(-1)]=[-1,1] [/mm]
Wenn [mm] f(t)=\vektor{t\\t} [/mm], dann ist [mm] f^-(t)=f(-t)=\vektor{-t\\-t} [/mm]
Dann ist aber doch [mm] f + (-f) = \vektor{t-t=0\\t-t=0} [/mm] und nicht [mm] f_4 [/mm] ?
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
um auf deine Fragen korrekte Antworten zu geben zu
können, wäre es sehr dienlich, wenn du die genaue
Definition des Begriffs "äquivalente Kurven" bzw.
"äquivalente Parametrisierungen einer Kurve"
angeben würdest, von der auszugehen ist.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 03.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Al,
also, ich habe einen Hilfssatz, der lautet:
Seinen [mm] g: I \to \IR^n [/mm] und [mm] f: J \to \IR^n [/mm] äquivalente parametrisierte Kurven in [mm] IR^n[/mm] , dann gilt
1) [mm] [g] = [f] [/mm]
2) Spur(g)=Spur(f)
3) Zu [mm] t_1,t_2 \in I [/mm] mit [mm] t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] gibt es [mm] r_1,r_2 \in J [/mm], sodass [mm] g(t_1)=f(r_1) [/mm] und [mm] g(t_2)=f(r_2) [/mm] ist
4) Enthält I seinen linken (bzw.rechten) Endpunkt t*, so enthält auch J seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt r*, und es gilt g(t*)=f(r*)
Und dann noch eine Definition: Kurve
1) Eine Kurve W in [mm] R^n [/mm] ist eine Äquivalenzklasse [f] von parametrisierten Kurven in [mm] R^n. [/mm] Jede parametrisierte Kurve in W heisst auch eine Parameterdarstellung von W.
2) Die Spur einer Parameterdarstellung heisst die Spur von W, in Zeichen: [W]
Reicht das so ?
Danke, Susanne.
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> Hallo Al,
> also, ich habe einen Hilfssatz, der lautet:
> Seinen [mm]g: I \to \IR^n[/mm] und [mm]f: J \to \IR^n[/mm] äquivalente
> parametrisierte Kurven in [mm]IR^n[/mm] , dann gilt
> 1) [mm][g] = [f][/mm]
> 2) Spur(g)=Spur(f)
> 3) Zu [mm]t_1,t_2 \in I[/mm] mit [mm]t_1[/mm] < [mm]t_2[/mm] gibt es [mm]r_1,r_2 \in J [/mm],
> sodass [mm]g(t_1)=f(r_1)[/mm] und [mm]g(t_2)=f(r_2)[/mm] ist
> 4) Enthält I seinen linken (bzw.rechten) Endpunkt t*, so
> enthält auch J seinen linken (bzw. rechten) Endpunkt r*,
> und es gilt g(t*)=f(r*)
>
> Und dann noch eine Definition: Kurve
> 1) Eine Kurve W in [mm]R^n[/mm] ist eine Äquivalenzklasse [f] von
> parametrisierten Kurven in [mm]R^n.[/mm] Jede parametrisierte Kurve
> in W heisst auch eine Parameterdarstellung von W.
> 2) Die Spur einer Parameterdarstellung heisst die Spur von
> W, in Zeichen: [W]
>
> Reicht das so ?
> Danke, Susanne.
Hallo Susanne,
ich muss zweierlei sagen:
1.) die (abstrakte) Theorie parametrisierter Kurven ist nicht
gerade eines meiner Spezialgebiete
2.) trotz der nachgelieferten (teilweisen?) Definitionen habe
ich noch Mühe mit dem genauen Verständnis der Aufgabe,
weil z.B. noch gar nichts darüber gesagt ist, ob der Begriff
"parametrisierte Kurve" durch Forderungen wie Stetigkeit,
Differenzierbarkeit, Injektivität eingeschränkt ist oder nicht
Möglicherweise kann jemand, der sich in der diesbezüglichen
Theorie besser auskennt, auch besser helfen.
Sofort würde ich aber sagen, dass die Kurven f, [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_3
[/mm]
wohl zueinander äquivalent sind in dem Sinne, dass dabei
nur eine streng monotone, also bijektive und dazu differen-
zierbare "Verzerrung" des Parameterintervalls notwendig ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mi 03.06.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
auch ich bin zu theoretischen Fragen in diesem Gebiet nicht sattelfest.
Sicher ist aber, dass sowohl [mm] f_1 [/mm] als auch [mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] jeweils exakt die Menge aller Punkt beinhalten, die auch von der Kurve f belegt werden.
Gruß Abakus
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> Hallo,
> auch ich bin zu theoretischen Fragen in diesem Gebiet
> nicht sattelfest.
> Sicher ist aber, dass sowohl [mm]f_1[/mm] als auch [mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm]
> jeweils exakt die Menge aller Punkt beinhalten, die auch
> von der Kurve f belegt werden.
> Gruß Abakus
Ja, dies habe ich auch gesehen, und zudem gilt
dies auch für die Kurve [mm] f_2, [/mm] nur "verharrt" die
Parametrisierung dort über eine gewisse Zeitdauer
(wenn wir t als Zeitkoordinate interpretieren),
eine Weile lang auf einem einzigen Punkt, und
bei [mm] f_4 [/mm] wird die Kurve zweimal durchlaufen, einmal
hin und einmal her. In dem einfachen Sinne, dass
die gleichen Punktmengen durchlaufen werden,
sind also gewissermassen alle 5 Kurven äquiva-
lent, aber bezüglich Bijektivität und Differenzier-
barkeit gibt es bei [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] Einschränkungen.
In Aufgabe b) kommt ein Konzept der "Addition"
von Kurven vor: [mm] [f]+(-[f])=[f_4] [/mm] , welches man
(als Durchlaufung der Kurve [f] "hin und her")
intuitiv gut verstehen kann, das aber in den De-
finitionen nicht genannt wurde.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mi 03.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für deine Hilfe und Mühe !!
> Ja, dies habe ich auch gesehen, und zudem gilt
> dies auch für die Kurve [mm]f_2,[/mm] nur "verharrt" die
> Parametrisierung dort über eine gewisse Zeitdauer
> (wenn wir t als Zeitkoordinate interpretieren),
> eine Weile lang auf einem einzigen Punkt, und
> bei [mm]f_4[/mm] wird die Kurve zweimal durchlaufen, einmal
> hin und einmal her. In dem einfachen Sinne, dass
> die gleichen Punktmengen durchlaufen werden,
> sind also gewissermassen alle 5 Kurven äquiva-
> lent, aber bezüglich Bijektivität und Differenzier-
> barkeit gibt es bei [mm]f_2[/mm] und [mm]f_4[/mm] Einschränkungen.
>
> In Aufgabe b) kommt ein Konzept der "Addition"
> von Kurven vor: [mm][f]+(-[f])=[f_4][/mm] , welches man
> (als Durchlaufung der Kurve [f] "hin und her")
> intuitiv gut verstehen kann, das aber in den De-
> finitionen nicht genannt wurde.
Das ist sehr anschaulich !
Also ich denke jetzt doch, dass f und [mm] f_4 [/mm] nicht äquivalent sind, weil der Endpunkt von f nicht mit dem Endpunkt von [mm] f_4 [/mm] gleich ist.
Aber man kann die zwei Kurven trotzdem aneinandersetzen.
LG, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 03.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Abakus,
danke für deinen Hinweis.
Wahrscheinlich muss [mm] f_4 [/mm] auch äquivalent sein, da der Teil b) vielleicht sonst nicht funktioniert. Dann wäre aber [mm] f(1) = f_4(1) [/mm] keine Voraussetzung für Äquivalenz.
Ich komme irgendwie nicht weiter ..
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> Hallo Abakus,
> danke für deinen Hinweis.
>
> Wahrscheinlich muss [mm]f_4[/mm] auch äquivalent sein, da der Teil
> b) vielleicht sonst nicht funktioniert. Dann wäre aber [mm]f(1) = f_4(1)[/mm]
> keine Voraussetzung für Äquivalenz.
Das ist etwas anders gedacht:
Lege an das Ende der Kurve f die Kurve mit der Gegenrichtung -f und parametrisiere die entstehende Kurve so, daß [mm]f_{4}[/mm] herauskommt.
>
> Ich komme irgendwie nicht weiter ..
>
> Danke, Susanne.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 03.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine Hilfe !
> Das ist etwas anders gedacht:
>
> Lege an das Ende der Kurve f die Kurve mit der
> Gegenrichtung -f und parametrisiere die entstehende Kurve
> so, daß [mm]f_{4}[/mm] herauskommt.
>
So ?:
[mm] f^-(t)=f(-t)=\vektor{-t\\-t}[/mm]
Sei [mm] h:[-1,0] \to [-1,1] [/mm] mit [mm] h(t)=-1+2t^2 [/mm]
Dann ist [mm] f^- \circ h = f^-(h(f))=f^-(-1+2t^2)=\vektor{-(-1+2t^2)=1-2t^2\\ -(-1+2t^2)=1-2t^2}=f_4 [/mm]
Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> Hallo Mathepower,
> vielen Dank für deine Hilfe !
>
> > Das ist etwas anders gedacht:
> >
> > Lege an das Ende der Kurve f die Kurve mit der
> > Gegenrichtung -f und parametrisiere die entstehende Kurve
> > so, daß [mm]f_{4}[/mm] herauskommt.
> >
> So ?:
> [mm]f^-(t)=f(-t)=\vektor{-t\\-t}[/mm]
> Sei [mm]h:[-1,0] \to [-1,1][/mm] mit [mm]h(t)=-1+2t^2[/mm]
> Dann ist [mm]f^- \circ h = f^-(h(f))=f^-(-1+2t^2)=\vektor{-(-1+2t^2)=1-2t^2\\ -(-1+2t^2)=1-2t^2}=f_4[/mm]
>
> Stimmt das so ?
Das ist ein bischen zu einfach.
Ich hab mir das so vorgestellt:
Im Intervall [mm]\left[-1,0\right] [/mm] habe ich die Kurve f.
Im Intervall [mm]\left[0,1\right] [/mm] habe ich die Kurve [mm]f^{-}[/mm].
Das heißt hier, das Intervall auf dem f bzw. [mm]f^{-}[/mm] definiert sind,
müssen dann auf das entsprechende Intervall transformiert werden.
Dann stelle ich die inversen Transformationen auf. Diese gehen wiederum durch eine geeignete Transformation ineinander über. Danach wähle ich einen geeigneten Parameter, der seinerseits auf das ganze Intervall abbildet, aber die inverse Transformation erhält.
>
> Danke, Susanne.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Do 04.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
vielen vielen Dank für deine Hilfe.
Ich glaube, so langsam dämmerts bei mir, dank deinem Hinweis mit der anderen Intervallgrenze.
Ich muss das mal vertiefen und mit einem Beispiel vergleichen, das ich bisher nicht verstanden hatte - VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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