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| Aufgabe | Gegeben sind die Graphen k1: [mm] y=\bruch{1}{2}x^2 [/mm] und k2: y= [mm] +2*\wurzel{x}
[/mm]
a) Berechne die Schnittpunkte beider Kurven! Wie lauten die Tangenten im Schnittpunkt mit x [mm] \not= [/mm] 0 an beide Kurven?
Welchen Winkel schließen beide Tangenten miteinander ein?
b) Berechne den Inhalt des gemeinsamen Flächenstückes im 1. Quadranten. Berechne für jede Kurve die Fläche zwischen Kurve, positiver x- Achse und der Geraden x=x0. Bestimme x0 so, dass beide Flächen gleich groß werden. |
a) Die Schnittpunkte: [mm] \bruch{1}{2}x^2=2*\wurzel{x} [/mm] /²
[mm] \bruch{1}{4}x^4=4*x [/mm] /*4
[mm] x^4=16x
[/mm]
x1,2= [mm] x*(x^3-16)
[/mm]
x1=0
[mm] x2=\wurzel[3]{16}= [/mm] 2,5198421 ~ 2,52
y1=0
y2=3,174802104 ~ 3,17
S1 (0/0)
S2 (2,52/3,17)
Die Tangenten im Schnittpunkt:
1. Ableitung:
k1: [mm] f'(x)=\bruch{2x}{2}
[/mm]
f(2,52)= [mm] \bruch{2*2,52}{2}= [/mm] 2,52 Die Steigung lautet somit 2,52
y=k*x+d
=> 3,17=2,52*2,52+d
d=-3,1804
t1: y=2,52*x-3,18
1. Ableitung:
k2: f'(x)=2* [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
f(2,52)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2,52}}= [/mm] 0,629940788
3,17=0,629940788*2,52+d
d= 1,582549214
t2: y=0,629940788*x+1,582549214 ~ y=0,63*x+1,58
Der Winkel zwischen beiden Tangenten. Meine dee ist dies mittels Vektorrechnung zu lösen:
t1:-2,52+y=-3,18
t2: -0,63+y=1,58
[mm] \bruch{\vektor{-2,52\\ 1}*\vektor{-0,63 \\ 1}}{\wurzel{0,63^2+1}*\wurzel{2,52^2+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2,5876}{3,204336711}
[/mm]
[mm] \alpha=36,14463709°
[/mm]
b) [mm] A=\integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2-2*\wurzel{x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2 dx}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{x^3}{3}=\bruch{x^3}{6}
[/mm]
A=2,667168 FE
[mm] \integral_{0}^{2,52}{2* \wurzel{x} dx}
[/mm]
[mm] =2*\bruch{2*x^{\bruch{3}{2}}}{3}=\bruch{4x^{\bruch{3}{2}}}{3}
[/mm]
A=5,333834643
A= 5,333834643-2,667168=2,66666 FE
Stimmen meine bisherigen Berechnungen?
Wie löse ich nun jedoch den letzten Teil der Aufgabe, also x=0? Ich weiß nicht, wie ich auf das x0 kommen soll bzw. ws ich überhaut nun genau machen soll.
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Gegeben sind die Graphen k1: [mm]y=\bruch{1}{2}x^2[/mm] und k2: y=
> [mm]+2*\wurzel{x}[/mm]
> a) Berechne die Schnittpunkte beider Kurven! Wie lauten
> die Tangenten im Schnittpunkt mit x [mm]\not=[/mm] 0 an beide
> Kurven?
> Welchen Winkel schließen beide Tangenten miteinander
> ein?
> b) Berechne den Inhalt des gemeinsamen Flächenstückes im
> 1. Quadranten. Berechne für jede Kurve die Fläche
> zwischen Kurve, positiver x- Achse und der Geraden x=x0.
> Bestimme x0 so, dass beide Flächen gleich groß werden.
> a) Die Schnittpunkte: [mm]\bruch{1}{2}x^2=2*\wurzel{x}[/mm] /²
> [mm]\bruch{1}{4}x^4=4*x[/mm] /*4
> [mm]x^4=16x[/mm]
> x1,2= [mm]x*(x^3-16)[/mm]
> x1=0
> [mm]x2=\wurzel[3]{16}=[/mm] 2,5198421 ~ 2,52
Das ist völlig wirr aufgeschrieben, obwohl die Lösungen stimmen. Insbesondere die Zeile
[mm] x_{1,2}=x*(x^3-16)
[/mm]
ist völliger Unsinn. Auch würde ich in Analysisaufgaben nicht anfangen, mit Dezimalzahlen zu rechnen, sondern lieber teilweise die Wurzel ziehen. Es ist
[mm] \wurzel[3]{16}=\wurzel[3]{8*2}=2\wurzel[3]{2}
[/mm]
>
> y1=0
> y2=3,174802104 ~ 3,17
Das scheint zu passen.
>
> S1 (0/0)
> S2 (2,52/3,17)
>
> Die Tangenten im Schnittpunkt:
> 1. Ableitung:
> k1: [mm]f'(x)=\bruch{2x}{2}[/mm]
> f(2,52)= [mm]\bruch{2*2,52}{2}=[/mm] 2,52 Die Steigung lautet somit
> 2,52
> y=k*x+d
> => 3,17=2,52*2,52+d
> d=-3,1804
> t1: y=2,52*x-3,18
Ja. Und in schön sieht das so aus:
t: [mm] y=2*\wurzel[3]{2}*x-2*\wurzel[3]{4}
[/mm]
> 1. Ableitung:
> k2: f'(x)=2* [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
> f(2,52)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2,52}}=[/mm] 0,629940788
> 3,17=0,629940788*2,52+d
> d= 1,582549214
> t2: y=0,629940788*x+1,582549214 ~ y=0,63*x+1,58
Auch das scheint zu passen, professionell sieht es so aus:
[mm] t_2: y=\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}*x+\wurzel[3]{4}
[/mm]
>
> Der Winkel zwischen beiden Tangenten. Meine dee ist dies
> mittels Vektorrechnung zu lösen:
> t1:-2,52+y=-3,18
> t2: -0,63+y=1,58
> [mm]\bruch{\vektor{-2,52\\ 1}*\vektor{-0,63 \\ 1}}{\wurzel{0,63^2+1}*\wurzel{2,52^2+1}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2,5876}{3,204336711}[/mm]
> [mm]%5Calpha%3D36%2C14463709%C2%B0[/mm]
Das ist keine gute Idee. Schau mal in deine Formelsammlung, dort solltest du die Formel
[mm] tan(\alpha)=\bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}
[/mm]
für den Schnittwinkel zweier Geraden finden. Einsetzen liefert deine Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]A=\integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2-2*\wurzel{x} dx}[/mm]
Das ist geanu falsch herum, da würde etwas negatives herauskommen.
>
> [mm]\integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2 dx}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{x^3}{3}=\bruch{x^3}{6}[/mm]
> A=2,667168 FE
>
> [mm]\integral_{0}^{2,52}{2* \wurzel{x} dx}[/mm]
>
> [mm]=2*\bruch{2*x^{\bruch{3}{2}}}{3}=\bruch{4x^{\bruch{3}{2}}}{3}[/mm]
> A=5,333834643
>
> A= 5,333834643-2,667168=2,66666 FE
Grausam! Es ist
A= [mm] \int_{0}^{\wurzel[3]{16}}{\left(2*\wurzel{x}-\bruch{1}{2}x^2\right) dx}=\left[\bruch{4}{3}\wurzel{x^3}-\bruch{1}{6}x^3\right]_0^{\wurzel[3]{16}}=\bruch{16}{3}-\bruch{8}{3}=\bruch{8}{3} [/mm] FE
> Stimmen meine bisherigen Berechnungen?
Ja. Aber ich muss jetzt nach dem Durchsehen deiner Rechnung erst mal zum Augenarzt...
> Wie löse ich nun jedoch den letzten Teil der Aufgabe,
> also x=0? Ich weiß nicht, wie ich auf das x0 kommen soll
> bzw. ws ich überhaut nun genau machen soll.
Bilde zwei Integralfunktionen und setze sie gleich.
Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben sind die Graphen k1: $ y=\bruch{1}{2}x^2 $ und k2: y= $ +2\cdot{}\wurzel{x} $
a) Berechne die Schnittpunkte beider Kurven! Wie lauten die Tangenten im Schnittpunkt mit x $ \not= $ 0 an beide Kurven?
Welchen Winkel schließen beide Tangenten miteinander ein?
b) Berechne den Inhalt des gemeinsamen Flächenstückes im 1. Quadranten. Berechne für jede Kurve die Fläche zwischen Kurve, positiver x- Achse und der Geraden x=x0. Bestimme x0 so, dass beide Flächen gleich groß werden.
b) $ A=\integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2-2\cdot{}\wurzel{x} dx} $
$ \integral_{0}^{2,52}{\bruch{1}{2}x^2 dx}= $
$ \bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{x^3}{3}=\bruch{x^3}{6} $
A=2,667168 FE
$ \integral_{0}^{2,52}{2\cdot{} \wurzel{x} dx} $
$ =2\cdot{}\bruch{2\cdot{}x^{\bruch{3}{2}}}{3}=\bruch{4x^{\bruch{3}{2}}}{3}} $
A= 5,333834643-2,667168=2,66666 FE |
> Bilde zwei Integralfunktionen und setze sie gleich.
>
> Gruß, Diophant
Ich verstehe nun leider ehrlich gesagt nicht so wirklich, was du damit meinst.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ich beide Integralfunktionen gleichsetzen:
\bruch{4x^{\bruch{3}{2}}}{3}=\bruch{x^{3}}{6} /6
8x^{\bruch{3}{2}}=x^3
x1=0
x2=1
doch was sollte ich nun damit anfangen?
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Hallo,
> > Bilde zwei Integralfunktionen und setze sie gleich.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Ich verstehe nun leider ehrlich gesagt nicht so wirklich,
> was du damit meinst.
Dann -> Schulbuch ->Integralfunktion ->Lesen!
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ich beide
> Integralfunktionen gleichsetzen:
> [mm]\bruch{4x^{\bruch{3}{2}}}{3}=\bruch{x^{3}}{6}[/mm] /6
>
> [mm]8x^{\bruch{3}{2}}=x^3[/mm]
>
Nein, du hast es nicht verstanden, weil du versäumt hast, einen Begriff nachzuschlagen, der dir unklar war. Da oben steht nämlich keine Integralfunktion.
Eine Integralfunktion hat folgende Gestalt
[mm] J(x)=\int_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Für die Parabel würde das so aussehen:
[mm] A_1(x)=\int_{0}^{x}{\bruch{1}{2}t^2 dt}
[/mm]
und für die Wurzelfunktion mache es sinngemäß genau so. Setze dann die beiden Funktionen gleich und löse nach x auf (natürlich das Integrieren nicht vergessen).
Eine solche Integralfunktion (also in einem solchen Kontext verwendet) nennt man manchmal auch Flächeninhaltsfunktion, denn sie beschreibt ausgehend von der Stelle x=a den Flächeninhalt, der von einer Funktion, der x-Achse und einer senkrechten Geraden mit x=a sowie einer weiteren mit variablem x-Wert in Abhängigkeit dieses x-Werts eingeschlossen wird.
Gruß, Diophant
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