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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:42 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Farouk |
Ich kann mir so schlecht geometrisch Vorstellen, was man eigentlich beim Umrechnen von Kurven/ Flächen 2.ter Ordnung (ich nenne jetzt alles einmal vereinfacht Quadrik) eigentlich macht.
Sind lineare Glieder gegeben berechne ich ja den scheitelpunkt und verschiebe die Quadrik dahin. Dann verschwinden diese linearen Glieder. Sind noch gemischte Glieder dabei mache ich ja noch Hauptachsentransformation um die Normalform zu bekommen. Jetzt meine eigentlichen Fragen
1. Ich habe ja erst mein x,y Koordinatensystem und dann am ende wenn die normalform da steht mein u,v System. Was tue ich geometrisch? Verschiebe und drehe ich das ganze von irgendeiner lage in den Nullpunkt (das wäre ja dann das x,y Koordinatensystem?) oder verschiebe und drehe ich das ganze so hin wie es tatsächlich liegt (u,v, Koordinaten?) Das verwirrt mich ein bisschen weil die Aufgabenstellung bei einer Aufgabe lautete zeichne ins ursprüngliche Koordinatensystem und zeichnen kann ich ja eigenlich nur das Ding in Normalform und das tue ich ja ins u,v, System aber ursprünglich steht ja alles mit x und y da???
2. Hauptachsentransformation (wahrscheinlich die selbe Frage nur aus einer anderen Richtung betrachtet). Wenn ich die gegebene Quadrik ih Matrizenschreibweise umgewandelt habe berechne ich ja zunächst die Eigenwerte (z.B. 1 und -2). Jetzt hab ich gesehen, dass in alten Lösungen manche Studenten sofort die Normalform hinschreiben mit diesen Eigenwerten (z.B. 1* [mm] u^2 [/mm] -2* [mm] v^2 [/mm] + g= 0). Mir ist schon klar, dass am ende die Normalform sowieso aus den eigenwerten besteht aber woher weiss ich welchen ich bei [mm] u^2 [/mm] und welchen bei [mm] v^2 [/mm] hinschreiben muss. Zum ablesen um welchen typ es sich handelt sehe ich ein dass es egal ist aber fürs zeichnen, dann sieht das doch, je nachdem welchen Eigenwert ich wo hinschreibe, dann anders aus????
Ich habe das Problem bisher zu umgehen versucht indem ich erst noch die Eigenräume ausgerechnet habe, die dann normiert habe und positiv orientiert in eine Matrix geschrieben habe (drehmatrix). aber selbst wenn ich mir diese ganze arbeit noch mache gibt es ja wieder verschiedene Möglichkeiten diese Matrix zu erstellen, sprich es kommen verschiedene ergebnisse raus.
Ich wäre sehr sehr dankbar wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Ach ja und da wär noch was anderes.
(3.) Oft sind ja aufgaben gestellt wo man den Schnittpunkt mit einer Achse oder sowas ausrechnen soll. Im [mm] \IR [/mm] ^2 sieht ja die X achse in Parameterform so aus: (1,0) * t in Koordinatenform y=0
Wie geht das im [mm] \IR [/mm] ^3 ??? Parameterform ist klar aber in Koordinatenform? Geht das überhaupt. Brauche aber ja oft so eine Form zum einsetzten gleichsetzen oder wie auch immer.
Vielen dank schon mal im voraus, frohe weihnachten und liebe Grüsse
Farouk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Fr 22.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ach ja und da wär noch was anderes.
> (3.) Oft sind ja aufgaben gestellt wo man den Schnittpunkt
> mit einer Achse oder sowas ausrechnen soll. Im [mm]\IR[/mm] ^2 sieht
> ja die X achse in Parameterform so aus: (1,0) * t in
> Koordinatenform y=0
> Wie geht das im [mm]\IR[/mm] ^3 ??? Parameterform ist klar aber in
> Koordinatenform? Geht das überhaupt. Brauche aber ja oft so
> eine Form zum einsetzten gleichsetzen oder wie auch immer.
>
>
> Vielen dank schon mal im voraus, frohe weihnachten und
> liebe Grüsse
>
> Farouk
>
Im [mm] \IR³ [/mm] haben die Koordinatenachsen folgende Darstellung:
x-Achse: [mm] \lambda\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
y-Achse: [mm] \mu\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
z-Achse: [mm] \nu\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Dann kannst du die Gerade mit diesen Achsengeraden gleichsetzen.
Musst du die Schnittpunkte von Ebenen und den Koordinatenachsen berechnen, geht das auch einfacher:
Du hast die Ebene in Koordinatenform, also ax+by+cz=d
Jetzt teile das Gabze mal durch d, dann hast du die sogenannte Hessesche Normalenform
[mm] \bruch{a}{d}x+\bruch{b}{d}y+\bruch{c}{d}z=1
[/mm]
Jetzt kannst du die Schnittpunkte mit den Achsen direkt ablesen, weil zwei der drei Koordinaten ja Null sind.
Also für [mm] S_{x}
[/mm]
[mm] \oberline{a}x+\overline{b}*0+\overline{c}*0=1
[/mm]
[mm] \gdw\overline{a}*x=1
[/mm]
[mm] \gdw x_{s}=\bruch{1}{\overline{a}}
[/mm]
Mit den Koordinaten von oben:
[mm] S_{x}=\vektor{\bruch{d}{a}\\0\\0}
[/mm]
[mm] S_{y}=\vektor{0\\\bruch{d}{b}\\0}
[/mm]
[mm] S_{z}=\vektor{0\\0\\\bruch{d}{c}}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 06.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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