Kurve im \IR^{2} < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Leute,
ich hänge bei einer Aufgabe in Analysis:
Geg. Kurve C in Polarkoordinaten: r = 1 + [mm] cos(\phi) [/mm] [geschlossene Kurve im [mm] \IR^{2}]
[/mm]
a) Berechne Länge
b) Berechne Steigung m = [mm] m(\phi) [/mm] der Tangente an C und bestimmen Sie den Grenzwert von [mm] m(\phi) [/mm] für [mm] \phi [/mm] gegen [mm] \pi-.
[/mm]
c) Berechen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}{\wurzel[4]{||x||_{2}} dx}.
[/mm]
Also bei der a) habe ich zuerstmal die gegebenen Polarkoordinaten in kartesische umgewandelt und erhielt somit die äquivalente Funktion:
f(t) = (1+cos(t))*cos(t),(1+cos(t)*sint)
Diese ist ja sicherlich stetig diffbar, also kann ich folgende Berechnung vornehmen:
L = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ ||f(t)|| dt}
[/mm]
=... 1 Seite herumgerechnet...
$= [mm] \wurzel(2)*\integral_{0}^{2\pi}{ \wurzel{1-cos(t)} dt}$
[/mm]
Meine Frage: Was ist bitte die Stammfunktion von [mm] \wurzel{1-cos(t)} [/mm] Ich habe es mit der Substitution x:=cos(t) probiert, allerdings muss ich dann auch die Grenzen ändern, was schief geht, da arccos ja nur von -1 bis 1 def. ist... wie kann ich nun hier weitermachen? Und ja, ich bin mir sicher, dass unter der Wurzel nicht cos² steht, weil dann wäre es ja einfach  aber kann man vllt. sonst wie das ganze mit sin ausdrücken?
Ich denke, dass ich mich auch nicht verrechnet habe, da eine andere Person, bei mir im Kurs, auch bei dem selben Schritt hängen bleibt...
Zur b)
Wie kann ich die Tangente ausrechnen? Ich kann ja nicht einfach f bilden... muss ich dies dann irgendwie über Differenzenquotienten, oder wie soll das funktionieren???
Zu c) ich kann mit dem x überhaupt nichts anfangen, woher kommt dies auf einmal??? Ist dies ein Fehler, bzw. wenn nicht, wie berechnet man so etwas?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, diese Aufgabe ist echt ziemlich lang, allein bei der a) sitze ich jetzt schon eine Stunde dran 
LG
Caro
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> Hallo liebe Leute,
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> ich hänge bei einer Aufgabe in Analysis:
>
> Geg. Kurve C in Polarkoordinaten: r = 1 + [mm]cos(\phi)[/mm]
> [geschlossene Kurve im [mm]\IR^{2}][/mm]
>
> a) Berechne Länge
> b) Berechne Steigung m = [mm]m(\phi)[/mm] der Tangente an C und
> bestimmen Sie den Grenzwert von [mm]m(\phi)[/mm] für [mm]\phi[/mm] gegen
> [mm]\pi-.[/mm]
> c) Berechen Sie das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{C}{\wurzel[4]{||x||_{2}} dx}.[/mm]
>
> Also bei der a) habe ich zuerstmal die gegebenen
> Polarkoordinaten in kartesische umgewandelt und erhielt
> somit die äquivalente Funktion:
>
> f(t) = (1+cos(t))*cos(t),(1+cos(t)*sint)
>
> Diese ist ja sicherlich stetig diffbar, also kann ich
> folgende Berechnung vornehmen:
>
> L = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ ||f(t)|| dt}[/mm]
>
> =... 1 Seite herumgerechnet...
>
> [mm]= \wurzel(2)*\integral_{0}^{2\pi}{ \wurzel{1-cos(t)} dt}[/mm]
>
> Meine Frage: Was ist bitte die Stammfunktion von
> [mm]\wurzel{1-cos(t)}[/mm] Ich habe es mit der Substitution
> x:=cos(t) probiert, allerdings muss ich dann auch die
> Grenzen ändern, was schief geht, da arccos ja nur von -1
> bis 1 def. ist... wie kann ich nun hier weitermachen? Und
> ja, ich bin mir sicher, dass unter der Wurzel nicht cos²
> steht, weil dann wäre es ja einfach aber kann man vllt.
> sonst wie das ganze mit sin ausdrücken?
> Ich denke, dass ich mich auch nicht verrechnet habe, da
> eine andere Person, bei mir im Kurs, auch bei dem selben
> Schritt hängen bleibt...
[mm]\sqrt{1-\cos(t)}=\sqrt{1-\cos\big(2\cdot\frac{t}{2}\big)}=\sqrt{1-\Big(1-2\sin^2\big(\frac{t}{2}\big)\Big)}=\sqrt{2\sin^2\big(\frac{t}{2}\big)}=\sqrt{2}\big|sin\big(\frac{t}{2}\big)\big|[/mm]
In dem Dich interessierenden Bereich $t=0$ bis [mm] $t=2\pi$ [/mm] kann man den Betrag auch weglassen: [mm] $\sqrt{1-\cos(t)}=\sqrt{2}sin\big(\frac{t}{2}\big)$.
[/mm]
Stammfunktion von [mm] $\sqrt{1-\cos(t)}$ [/mm] ist dementsprechend [mm] $F(t)=-2\sqrt{2}\cos\big(\frac{t}{2}\big)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> [mm]= \wurzel(2)*\integral_{0}^{2\pi}{ \wurzel{1-cos(t)} dt}[/mm]
Fast:
[mm]= \wurzel(2)*\integral_{0}^{2\pi}{ \wurzel{1\red{+}cos(t)} dt}[/mm]
Somebodys Umformung funktioniert genauso, nur kommt dabei [mm]2|\cos(t/2)|[/mm] heraus, und du darfst die Betragsstriche nicht einfach weglassen, sondern musst das Integral in zwei Teile aufteilen (die beide gleich sind, denn die Kurve ist symmetrisch).
> Wie kann ich die Tangente ausrechnen? Ich kann ja nicht
> einfach f bilden... muss ich dies dann irgendwie über
> Differenzenquotienten, oder wie soll das funktionieren???
Wenn deine Kurve in der Parameterform [mm]f(t)=(x(t),y(t))[/mm] gegeben ist, so ist die Tangentensteigung an der Stelle t gerade [mm]\bruch{y'(t)}{x'(t)}[/mm].
> Zu c) ich kann mit dem x überhaupt nichts anfangen, woher
> kommt dies auf einmal??? Ist dies ein Fehler, bzw. wenn
> nicht, wie berechnet man so etwas?
Du kennst doch die Definition des Kurvenintegrals: du nimmst dir eine Parametrisierung f(t) der Kurve, dann ist
[mm] \integral_C g(x) dx = \integral_a^b g(f(t))*f'(t) dt [/mm].
Hier ist dein g(x) gerade [mm]\wurzel[4]{\|x\|}[/mm].
Tipp: [mm]\|f(t)\| = 1+\cos(t)[/mm] (damit du deine Rechnung überprüfen kannst).
Viele Grüße
Rainer
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