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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:01 Mi 24.08.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Satz (Kurven und Bilder)
Seien [mm] \gamma_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] und [mm] \gamma_2:[c,d]\rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] gegeben. Dann:
1) [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2 \Rightarrow \gamma_1([a,b]) [/mm] = [mm] \gamma_2([c,d])
[/mm]
2) [mm] \gamma_1([a,b])= \gamma_2([c,b]) [/mm] und [mm] \gamma_1, \gamma_2 [/mm] reguläre Jorankurven die nicht geschlossen sind so folgt [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2 [/mm] oder [mm] \gamma_1 \sim \tilde{\gamma_2}
[/mm]
Zu den Begriffen:
Sind I,J [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] Intervalle. Eine zulässige Parametertransformation ist eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] \phi:I \rightarrow [/mm] J mit [mm] \phi'(t)>0 \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I.Zwei Wege [mm] \gamma: [/mm] I [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] und [mm] \sigma: [/mm] J [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] heißen äquivalent, wenn es eine zulässige Paramtertransformaton [mm] \phi:I \rightarrow [/mm] J gibt mit [mm] \sigma \circ \phi [/mm] = [mm] \gamma [/mm] wir schreiben dafür auch kurz [mm] \gamma \sim \sigma.
[/mm]
Ein Weg [mm] \gamma: [/mm] I [mm] \rightarrow\mathbb{R}^n [/mm] heißt regulär. wenn [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar und [mm] \gamma'(t) \not=0 [/mm] gilt für alle t [mm] \in [/mm] I.
Eine orientierte stückweise reguläre Kurve heißt Jordankurve wenn sie eine Paramterdarstellung [mm] \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] hat sodass [mm] \gamma|_{[a,b)} [/mm] injektiv ist.
Sei [mm] \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] eine Paramterdarstellung der Kurve C. Dann ist -C die Kurve die durch [mm] \tilde{\gamma}= \gamma(b [/mm] - (t-a)) dargestellt ist. |
Hallo
Der Beweis zu 1) ist klar aber der zu 2) nicht.
Im Skript:
Da [mm] \gamma_i [/mm] reguär und Jordan sind folgt für die Länge [mm] L(\gamma_1)=L(\gamma_2)=:L
[/mm]
[mm] s_1: [/mm] t [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \mapsto \int_a^t |\gamma_1'(t)| [/mm] dt
[mm] s_2: [/mm] t [mm] \in [/mm] [c,d] [mm] \mapsto \int_c^t |\gamma_2'(t)| [/mm] dt
sodass [mm] s_1(b)=s_2(d)=L
[/mm]
Falls [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(c) [/mm] ist [mm] \phi(t):= s_2^{-1} (s_1(t)) [/mm] der Diffeomorphismus der Äquivalenz [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2.
[/mm]
Falls [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(d) [/mm] ist der diffeomorphismus [mm] \phi(t)= s_2^{-1} [/mm] (L - [mm] s_1(t))
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Kann mit wer den Beweis im Skript erklären?
Warum sind das jeweils Diffeomorphismen die [mm] \gamma_1= \gamma_2 \circ \phi [/mm] oder [mm] \gamma_1 [/mm] = [mm] \tilde{\gamma_2} \circ \phi [/mm] erfüllen?
Mir ist klar [mm] s_1:[a,b] \rightarrow [/mm] [0,L] ist [mm] C^1 [/mm] da t [mm] \mapsto |\gamma_1'(t)| [/mm] stetig ist + Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
[mm] s_1'(t)= |\gamma_1'(t)| [/mm] >0 (da regülär) also ist [mm] s_1 [/mm] eine zulässige Paramtertransformation.
[mm] s_1 [/mm] eingeschränkt aufs Bild ist bijektiv. Die Umkehrfunktion [mm] s^{-1} (\sigma)=\frac{1}{s_1'(s_1^{-1}(\sigma))}= \frac{1}{|\gamma_1(s_1^{-1}(\sigma))|}>0
[/mm]
Warum muss ich nur die beiden Fälle unterscheiden: [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(c), \gamma_1(a)=\gamma_2(d) [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Do 25.08.2016 | | Autor: | hippias |
Nur auf die Schnelle eine kurze Bemerkung; vielleicht genügt das schon. Bei mir ist [mm] $\phi'= \frac{|\gamma_{2}'(t)|}{|\gamma_{1}'(\phi(t))|}$ [/mm] und somit [mm] $|\gamma_{1}(\phi(t))'|= |\gamma_{1}'(\phi(t))\phi'(t)|= |\gamma_{2}(t)|$. [/mm] Also stimmen [mm] $\gamma_{1}(\phi(t))$ [/mm] und [mm] $\gamma_{2}$ [/mm] and der Stelle $c$ überein und haben (wenigstens betragsmässig) überall die gleiche Steigung. Daraus würde ich [mm] $\gamma_{2}= \gamma_{1}\circ \phi$ [/mm] versuchen herzuleiten.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:35 Fr 26.08.2016 | | Autor: | sissile |
Arbeitest du hier mit dem $ [mm] \phi_1(t):= s_2^{-1} (s_1(t)), \phi_2(t):= s_2^{-1} [/mm] $ (L - $ [mm] s_1(t)) [/mm] $ , dass im ersten Beitrag erzeugt wurde oder mit einen noch nicht konstruiereten beliebigen [mm] \phi, [/mm] dass zu der Äquivalenz $ [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2. [/mm] $ noch konstruiert werden muss?
Ich sehe ehrlichgesagt nicht den zusammenhang zu meinen geposteten Beweis oder ich verstehe den Kontext deines Beitrages nicht...
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Fr 26.08.2016 | | Autor: | hippias |
Es ging mir um [mm] $\gamma_{1}([a,b])= $\gamma_{2}([c,d])\Rightarrow $\gamma_{1}\sim \gamma_{2}$. [/mm] Ich habe das ganze noch nicht zu Ende gedacht, sondern wollte nur den Ausgangspunkt meiner Überlegung schildern.
Ich betrachte ich den Fall [mm] $\gamma_{1}(a)= \gamma_{2}(c)$ [/mm] , d.h. die Bildkurve wird durch beide Parametrisierungen gleichsinnig durchlaufen; der gegensinnige Fall läuft dann analog mit dem anderen [mm] $\phi$ [/mm] (oder Du betrachtes [mm] $\tilde{\gamma_{2}}:= \gamma_{2}(-(x-c)+d)$).
[/mm]
Es sei also [mm] $\phi= s_{1}^{-1}\circ s_{2}$ [/mm] und zeigen will ich [mm] $\gamma_{1}\circ \phi= \gamma_{2}$. [/mm]
Meine Beobachtung ist, dass im jeden Fall [mm] $\gamma_{1}(\phi(c))= \gamma_{2}(c)$ [/mm] ist und zusätzlich [mm] $|\left(\gamma_{1}\circ \phi)\right)'|= |\gamma_{2}'|$ [/mm] auf dem Intervall gilt.
Könnte ich mir klarmachen, dass die Ableitungen nicht nur betragsmässig, sondern "richtig" gleich sind, dann folgt mit dem gemeinsamen Startwert sofort, dass [mm] $\gamma_{1}\circ \phi= \gamma_{2}$ [/mm] ist.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:11 Sa 17.09.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich habe die Frage total vergessen - war im Ausland und hatte nicht mehr daran gedacht!
Ich verstehe deine Übelegungen. Bist du mittlerweile schon auf die Lösung gekommen?
Ich hab mir dazu angeschaut:
[mm] \gamma_2 (s_2^{-1} (s_1(t))= \gamma_2 (s_2^{-1} (\int_a^t |\gamma_1'(t)| [/mm] dt)= [mm] \gamma_2 \{x \in [a,b]| s_2 (x)= \int_a^t |\gamma_1'(t)| dt\}= \gamma_2 \{x \in [a,b]| \int_c^x |\gamma_2'(t)| dt= \int_a^t |\gamma_1'(t)|dt\}
[/mm]
Bildlich gesprochen schaue ich welche Weglänge [mm] \gamma_1 [/mm] zurückgelegt hat bis zum Zeitpunkt t und dann schaue ich zu welchen Zeitpunkt [mm] \gamma_2 [/mm] diese Wegstrecke zurückgelegt hat.
Für [mm] \gamma_1(x) \in \gamma_1([a,b]) [/mm] gibt es ein s [mm] \in [/mm] [c,d]: [mm] \gamma_1(x)=\gamma_2(s) [/mm] nach Voraussetzung.
Lg,
Sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 25.09.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 26.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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