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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 08.07.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve
[mm] \wurzel{x}+\wurzel{y} [/mm] = [mm] \wurzel{a}, [/mm] a>0, [mm] 0\lex\lea
[/mm]
Zu bestimmen ist die Fläche die von x=0, y=0 und der Kuve begrenzt wird! |
Hallo!
Zunächst mal habe ich die Gleichung in Parameterform umgeschrieben:
[mm] x(t)=t^{2} [/mm] , [mm] y(t)=t^{2}-2\wurzel{a}t+a
[/mm]
Dann habe ich in folgende Formel eingesetzt: A = [mm] \integral_{a}^{b}{y dx}, [/mm] wobei wir gelernt haben dass man diese formel "im Uhrzeigersinn" durchlaufen muss.
Deswegen habe ich als integrationsgrenzen gewählt: 0.5 [mm] \pi [/mm] bis 0
Es ergibt sich also:
[mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{0}{(t^{2}-2\wurzel{a}t+a) dt^{2}} [/mm] = ... = [mm] -\bruch{\pi^{4}}{16}+\bruch{\wurzel{a}\pi^{3}}{6}-\bruch{a\pi^{2}}{4}
[/mm]
Ist das richtig, stimmt's nu ansatzweise oder ist das totaler Blödsinn? Ist leider die erste aufgabe diesen typs, die ich berechne.
Danke schonmal!
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Warum machst du das so kompliziert (und falsch)? Das ist doch Schulstoff!
[mm]\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}[/mm]
Diese Gleichung ist symmetrisch in [mm]x,y[/mm]. Daher ist die Kurve symmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten. Wenn man zunächst nach [mm]\sqrt{y}[/mm] auflöst, bekommt man
[mm]\sqrt{y} = \sqrt{a} - \sqrt{x}[/mm]
Da die linke Seite nichtnegativ ist, muß es auch die rechte sein. Zulässig für [mm]x[/mm] sind also die Werte [mm]0 \leq x \leq a[/mm]. Und jetzt noch quadrieren gibt
[mm]y = \left( \sqrt{a} - \sqrt{x} \right)^2 \, , \ \ 0 \leq x \leq a[/mm]
Wenn man sich die Ableitung anschaut:
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, , \ \ 0 < x \leq{a}[/mm]
so stellt man fest, daß die Kurve streng monoton vom Punkt [mm](0,a)[/mm], mit unendlicher negativer Steigung beginnend, zum Punkt [mm](a,0)[/mm], mit Steigung 0 einmündend, fällt. Sie hat also Ähnlichkeit mit einem Viertelkreis. Und jetzt muß nichts anderes als
[mm]\int_0^a~\left( \sqrt{a} - \sqrt{x} \right)^2~\mathrm{d}x[/mm]
berechnet werden. Wie in der Schule.
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Ah, das stimmt allerdings. wenn ich es so mache, dann komme ich auf einen flächeninhalt von [mm] \bruch{a^{2}}{6} [/mm] . Kann das jemand bestätigen?
Aber gibt es da keine möglichkeit, das irgendwie anders zu machen? Ich war davon ausgegangen, dass es nicht so einfach ist.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 11.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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