Kugeloberfläche < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:02 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | P1 ist ein Punkt auf der durch
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-6y+4z+5=0
[/mm]
gegebenen Kugelfläche, P2 sei ein Punkt auf der Durch
[mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-12y-8z+4=0
[/mm]
gegebenen Kugelfläche. Berechnen Sie die punkte p1 und p2 so, daß diese maximalen abstand besitzen.
Hinweis: Die Kugeloberfläche der Kugel mit Mittelpunkt [mm] (x_{0},y_{0},z_{0})und [/mm] Radius r ist gegeben durch [mm] (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} [/mm] |
Hi,
ich komm mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe beide Gleichungen mit quadratischer Ergänzung nch z umgestellt. Und dann die erste partiell nach x abgeleitet und die zweite partiell nach y. Dann =0 gesetzt und ich bekomme für [mm] x=\pm [/mm] 1 und für [mm] y=\pm [/mm] 6.
Die Lösung ist aber: [mm] p1=\bruch{1}{7}\vektor{13 \\ 12 \\ -32} [/mm] ; [mm] P2=\vektor{-3 \\ 9 \\ 10}
[/mm]
Kann mir bitte jemand sagen ob mein Ansatz falsch ist bzw. einen Tipp geben wie ich das richtig löse??? Danke schonmal!!!
Gruß
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 17.09.2007 | | Autor: | statler |
> P1 ist ein Punkt auf der durch
>
> [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-6y+4z+5=0[/mm]
>
> gegebenen Kugelfläche, P2 sei ein Punkt auf der Durch
>
> [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-12y-8z+4=0[/mm]
>
> gegebenen Kugelfläche. Berechnen Sie die punkte p1 und p2
> so, daß diese maximalen abstand besitzen.
>
> Hinweis: Die Kugeloberfläche der Kugel mit Mittelpunkt
> [mm](x_{0},y_{0},z_{0})und[/mm] Radius r ist gegeben durch
> [mm](x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}[/mm]
> ich komm mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe beide
> Gleichungen mit quadratischer Ergänzung nch z umgestellt.
> Und dann die erste partiell nach x abgeleitet und die
> zweite partiell nach y. Dann =0 gesetzt und ich bekomme für
> [mm]x=\pm[/mm] 1 und für [mm]y=\pm[/mm] 6.
Ich kann nicht nachvollziehen, welcher Gedankengang hinter dieser Vorgehensweise stecken sollte.
> Die Lösung ist aber: [mm]p1=\bruch{1}{7}\vektor{13 \\ 12 \\ -32}[/mm]
> ; [mm]P2=\vektor{-3 \\ 9 \\ 10}[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand sagen ob mein Ansatz falsch ist bzw.
> einen Tipp geben wie ich das richtig löse???
Wenn du die beiden Gln. quadratisch ergänzt, kannst du doch die Mittelpunkte und Radien ablesen. Dann liegen die Punkte mit dem max. Abstand auf der Geraden durch die Mittelpunkte. Das gibt 4 Möglichkeiten, von denen du nur noch die beiden richtigen auswählen mußt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
Ok, vielen Dank, das macht Sinn. Ich steh aber immernoch auf dem Schlauch.
Ich hab das jetzt quadratisch ergänzt:
1.: [mm] (x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2}
[/mm]
2.: [mm] (x+1)^{2}+(y-6)^{2}+(z-4)^{2}=7^{2}
[/mm]
d.h.
Radius 1 = 3 [mm] MP1=\vektor{1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
Radius 2 = 7 [mm] MP2=\vektor{-1 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?? Ich hab da auch Schwierigkeiten mir das räumlich vorzustellen. Danke nochmal für die Antwort.
Gruß Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
machs mit Kreisen in der Ebene für die Vorstellung. Deine Zeichnung ist dann jeder Schnitt, der senkrecht zu der Verbindungslinie der mittelpkte ist.
Also die Gerade M1M2 mit K1 und K2 schneiden, die weiter entfernten Pkte nehmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
hm, ich will das immer noch nicht verstehen, sorry.
die Gerade M1M2 ist [mm] x=\vektor{1 \\ 3 \\ 2}+\lambda \vektor{-2 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
Wie setze ich das mit der Kreisgleichung gleich?? danke für die Geduld...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Vielleicht wird es mit dem Einsetzen der Geradengleichung klarer, wenn Du eine andere Darstellung der jeweiligen Kugelgleichung nimmst:
$$K \ : \ [mm] \left[\vec{x}-\vec{m}\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\red{\vec{x}}-\vektor{x_M\\y_M\\z_M}\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2$$
[/mm]
Hier nun das [mm] $\red{\vec{x}}$ [/mm] durch o.g. Geradengleichung ersetzen und nach [mm] $\lambda_{1/2}$ [/mm] auflösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ja, so hab ich mir das zu beginn auch gedacht. ich bekomme aber dann für [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm \bruch{3}{\wurzel{17}} [/mm] und das dann in die Geradengleichung eingesetzt ergibt einen anderen Punkt als der in der Musterlösung gegebene.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan!
In welche der beiden Kugelgleichungen hast Du hier den eingesetzt? Beim Einsetzen in die Kugel mit dem Mittelpunkt $M_1 \left( \ 1 \ | \ 3 \ | \ 2 \ \right)$ erhalte ich allerdings:
$$\lambda_{1/2} \ = \ \pm\bruch{3}{\wurzel{\red{14}}$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:22 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ja, ich hab das in die kugel mit m=(1|3|2) eingesetzt. das schaut dann so aus:
ich nenne [mm] \lambda [/mm] jetzt mal h
[mm] (1-2h-1)^{2}+(3+3*h-3)^{2}+(2+2h-2)^{2}=9
[/mm]
also
[mm] (-2h)^{2}+(3h)^{2}+(2h)^{2}=9
[/mm]
dann
[mm] 4h^{2}+9h^{2}+4h^{2}=9
[/mm]
h ausklammern...
und ich bekomme dann [mm] \pm \bruch{3}{\wurzel{17}}
[/mm]
... verzweifel gleich...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Tatsächlich ein Rechenfehler ... allerdings einer bei mir ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .
Ich komme jetzt auch auf Deine Werte. Wie lauten denn die Werte der Musterlösung?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
musterlös.:
[mm] p1=\bruch{1}{7} \vektor{13 \\ 12 \\ -32}
[/mm]
[mm] p2=\vektor{-3 \\ 9 \\ 10}
[/mm]
danke nochmal für die kondition
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
die mitteilung oben sollte ne frage sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Di 18.09.2007 | | Autor: | statler |
Hi allerseits!
> musterlös.:
>
> [mm]p1=\bruch{1}{7} \vektor{13 \\ 12 \\ -32}[/mm]
>
> [mm]p2=\vektor{-3 \\ 9 \\ 10}[/mm]
Diese Musterlösung ist mir sehr suspekt! Mein Ansatz wäre - ausgehend von der oben errechneten Geraden durch die Mittelpunkte -, den Richtungsvektor auf Länge 1 zu normieren und dann das 3fache dieses Richtungsvektors von dem einen Mittelpunkt abzuziehen und das 7fache zum anderen Mittelpunkt zu addieren. Danach wäre der eine Durchstoßungspunkt [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{\wurzel{17}}*\vektor{-2 \\ 3 \\ 2} [/mm] und der andere entsprechend [mm] \vektor{-1 \\ 6 \\ 4} [/mm] + [mm] \bruch{7}{\wurzel{17}}*\vektor{-2 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
