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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Do 23.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^3\to\IR^3, [/mm] f(r, a, [mm] b)=(r\sin(a)\cos(b), r\sin(a)\sin(b), r\cos(a)) [/mm] ist lokal umkehrbar.
Bestimmen Sie in einer Umgebung von [mm] f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0) [/mm] eine (lokale) Umkehrfunktion g. |
Hallo,
ich habe erstmal immer nur eine Variable variabel gelassen und die anderen festgehalten und die Funktionswerte von f berechnet:
f(r, [mm] \pi/2,\pi/2)=(0,r,0)
[/mm]
f(1,a, [mm] \pi/2)=(0,\sin(a), \cos(a))
[/mm]
[mm] f(1,\pi/2,b)=(\cos(b), \sin(b),0))
[/mm]
Ist das schon der richtige Weg? Ich seh leider nicht, wie es weitergeht. Wie komme ich auf mein g?
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo pyw,
> Die Funktion [mm]f:\IR^3\to\IR^3,[/mm] f(r, a, [mm]b)=(r\sin(a)\cos(b), r\sin(a)\sin(b), r\cos(a))[/mm]
> ist lokal umkehrbar.
> Bestimmen Sie in einer Umgebung von
> [mm]f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0)[/mm] eine (lokale) Umkehrfunktion g.
> Hallo,
>
> ich habe erstmal immer nur eine Variable variabel gelassen
> und die anderen festgehalten und die Funktionswerte von f
> berechnet:
>
> f(r, [mm]\pi/2,\pi/2)=(0,r,0)[/mm]
> f(1,a, [mm]\pi/2)=(0,\sin(a), \cos(a))[/mm]
> [mm]f(1,\pi/2,b)=(\cos(b), \sin(b),0))[/mm]
>
> Ist das schon der richtige Weg?
Ist zwar schon einiges her, aber ich meine mich zu erinnern, dass dies nicht der rechte Weg ist
Nein, du solltest dir dringend mal den Satz von der lokalen Umkehrbarkeit ansehen!
Sollte ich übrigens auch mal wieder tun 
> Ich seh leider nicht, wie
> es weitergeht. Wie komme ich auf mein g?
Bererchne zunächst mal die Matrix [mm]Df(r,a,b)=\pmat{\frac{\partial f_1}{\partial r}&\frac{\partial f_2}{\partial r}&\frac{\partial f_3}{\partial r}\\
\frac{\partial f_1}{\partial a}&\frac{\partial f_2}{\partial a}&\frac{\partial f_3}{\partial a}\\
\frac{\partial f_1}{\partial b}&\frac{\partial f_2}{\partial b}&\frac{\partial f_3}{\partial b}}[/mm]
wobei [mm]f(r,a,b)=(f_1(r,a,b),f_2(r,a,b),f_2(r,a,b)=(r\sin(a)\cos(b),r\sin(a)\sin(b),r\cos(a))[/mm] ist.
Dann ist die Funktion [mm]f[/mm] an den Stellen lokal umkehrbar, wo [mm]\operatorname{det}(Df(r,a,b))\neq 0[/mm] ist.
Ist sie das im gegebenen Punkt?
Bist du sicher, dass du die UKF angeben sollst und nicht eher die Ableitung der UKF an der gegebenen Stelle?
Die kannst du gem. Umkehrregel als Inverse Matrix zu $Df(r,a,b)$ berechnen ...
>
> Danke für Hilfe.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo pyw,
ich würde die lokale Umkehrbarkeit als in der Aufgabe gegeben ansehen. Ob sie zutrifft, kannst Du in der Tat so überprüfen, wie schachuzipus angegeben hat: die Jacobi-Matrix muss regulär sein.
> Die Funktion [mm]f:\IR^3\to\IR^3,[/mm] f(r, a, [mm]b)=(r\sin(a)\cos(b), r\sin(a)\sin(b), r\cos(a))[/mm]
> ist lokal umkehrbar.
> Bestimmen Sie in einer Umgebung von
> [mm]f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0)[/mm] eine (lokale) Umkehrfunktion g.
Du hast eine Funktion f(r,a,b)=(x,y,z) gegeben, mit
[mm] x=r\sin{(a)}\cos{(b)}
[/mm]
[mm] y=r\sin{(a)}\sin{(b)}
[/mm]
[mm] z=r\cos{(a)}
[/mm]
> ich habe erstmal immer nur eine Variable variabel gelassen
> und die anderen festgehalten und die Funktionswerte von f
> berechnet:
>
> f(r, [mm]\pi/2,\pi/2)=(0,r,0)[/mm]
> f(1,a, [mm]\pi/2)=(0,\sin(a), \cos(a))[/mm]
> [mm]f(1,\pi/2,b)=(\cos(b), \sin(b),0))[/mm]
>
> Ist das schon der richtige Weg? Ich seh leider nicht, wie
> es weitergeht. Wie komme ich auf mein g?
Ich sehe nicht, was das austragen sollte.
Es geht doch darum eine Funktion g zu finden, die lokal folgendes leistet: g(x,y,z)=(r,a,b)
Dass dies nur lokal geschehen kann, wird schon deutlich, wenn man feststellt: [mm] r^2=x^2+y^2+z^2
[/mm]
Außer für x=y=z=0 gibt es also immer zwei mögliche r. Der gegebene Punkt, um den herum Du die Umkehrfunktion aufstellen sollst, hat nun ein positives r. Du sollst und darfst also für die Umkehrfunktion feststellen:
[mm] r=(+)\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
Das Vorzeichen vor der Wurzel ist natürlich unnötig, daher die Klammern.
Auch für a,b wirst Du Mehrdeutigkeiten feststellen, sogar unendlich viele. Duch den Anfangspunkt kannst Du Dich aber auf eine davon beschränken.
Grüße
reverend
> Danke für Hilfe.
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 23.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo reverend und schachuzipus,
ihr habt mir schon sehr weitergeholfen. Die Funktion f ist nur dann umkehrbar, wenn [mm] r\neq0 [/mm] und [mm] a\notin\{k*\pi,k\in\IZ\}. [/mm] Sonst ist die Determinante der Jacobimatrix Null.
Im gegebenen Punkt ist die Funktion also tatsächlich lokal umkehrbar.
> ich würde die lokale Umkehrbarkeit als in der Aufgabe
> gegeben ansehen. Ob sie zutrifft, kannst Du in der Tat so
> überprüfen, wie schachuzipus angegeben hat: die
> Jacobi-Matrix muss regulär sein.
>
> > Die Funktion [mm]f:\IR^3\to\IR^3,[/mm] f(r, a, [mm]b)=(r\sin(a)\cos(b), r\sin(a)\sin(b), r\cos(a))[/mm]
> > ist lokal umkehrbar.
> > Bestimmen Sie in einer Umgebung von
> > [mm]f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0)[/mm] eine (lokale) Umkehrfunktion g.
>
> $ [mm] x=r\sin{(a)}\cos{(b)} [/mm] $, $ [mm] y=r\sin{(a)}\sin{(b)} [/mm] $, $ [mm] z=r\cos{(a)} [/mm] $
>
> Der gegebene Punkt, um den herum Du die Umkehrfunktion
> aufstellen sollst, hat nun ein positives r. Du sollst und
> darfst also für die Umkehrfunktion feststellen:
>
> [mm]r=(+)\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> Auch für a,b wirst Du Mehrdeutigkeiten feststellen, sogar
> unendlich viele. Duch den Anfangspunkt kannst Du Dich aber
> auf eine davon beschränken.
Ok: ich habe [mm] a=\arccos(\frac{z}{r}).
[/mm]
Es ist schon schwieriger, das b herauszufinden, denn im gegebenen Punkt ist x=0 wegen [mm] f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0). [/mm] Wäre [mm] x\neq0 [/mm] hätte ich einfach [mm] b=\arctan\frac{y}{x} [/mm] berechnen können.
Da nun aber x=0, folgt wegen [mm] r\neq0, [/mm] dass entweder [mm] \sin(a)=0 [/mm] oder [mm] \cos(b)=0. [/mm] Der Fall [mm] \sin(a)=0 [/mm] kann nicht sein, denn dann wäre auch y=0, aber y ist positiv in einer Umgebung des gegebenen Punkts.
Also muss gelten [mm] \cos(b)=0 \Rightarrow b=\pi/2
[/mm]
Bei meiner Umkehrfunktion sind nun in einer Umgebung des gegebenen Punkts auch Punkt mit [mm] x\neq0. [/mm] Muss ich deswegen eine Fallunterscheidung bei der Angabe der Umkehrfunktion machen?
Bitte nochmal um Hilfe. Und danke, ihr seid echt spitze!
Gruß
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Hallo pyw,
entschuldige die späte Reaktion, ich war viel unterwegs am Wochenende und habe gestern Abend noch gearbeitet...
Das sieht doch schon gut aus.
> Ok: ich habe [mm]a=\arccos(\frac{z}{r}).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich fände es allerdings besser, hier r durch x,y,z auszudrücken, das ist für eine Umkehrfunktion deutlicher.
> Es ist schon schwieriger, das b herauszufinden, denn im
> gegebenen Punkt ist x=0 wegen [mm]f(1,\pi/2,\pi/2)=(0,1,0).[/mm]
> Wäre [mm]x\neq0[/mm] hätte ich einfach [mm]b=\arctan\frac{y}{x}[/mm]
> berechnen können.
Ja...
> Da nun aber x=0, folgt wegen [mm]r\neq0,[/mm] dass entweder
> [mm]\sin(a)=0[/mm] oder [mm]\cos(b)=0.[/mm] Der Fall [mm]\sin(a)=0[/mm] kann nicht
> sein, denn dann wäre auch y=0, aber y ist positiv in einer
> Umgebung des gegebenen Punkts.
> Also muss gelten [mm]\cos(b)=0 \Rightarrow b=\pi/2[/mm]
Eben.
> Bei meiner Umkehrfunktion sind nun in einer Umgebung des
> gegebenen Punkts auch Punkt mit [mm]x\neq0.[/mm] Muss ich deswegen
> eine Fallunterscheidung bei der Angabe der Umkehrfunktion
> machen?
Ja, das ist ein möglicher Weg und bei dieser Aufstellung auch unumgänglich. "Schöner" ist natürlich eine geschlossene Darstellung. die bekommst Du, wenn Du statt des [mm] \arctan [/mm] einfach den [mm] \text{arccot} [/mm] verwendest, also [mm] b=\text{arccot}{\tfrac{x}{y}}.
[/mm]
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 24.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo reverend,
> "Schöner" ist natürlich eine geschlossene Darstellung.
Danke.
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Fr 24.06.2011 | | Autor: | reverend |
oops, ich sehe gerade, dass LaTeX den arccot gar nicht kennt und folgerichtig schlicht "nichts" angezeigt wurde. Das habe ich jetzt oben redigiert.
Der Vorschlag war einfach: [mm] b=\text{arccot}\left(\bruch{x}{y}\right)
[/mm]
Grüße
rev
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