Kugelkondensator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Sa 17.05.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Ein Kugelkondensator besteht aus einer massiven Vollkugel aus Metall mit dem Radius [mm] r_i=5cm [/mm] und einer dünnen Metallhohlkugel mit dem Radius [mm] r_a=6cm. [/mm] Der Zwischenraum sei mit einem Dielektrikum mit Dielektrizitätszahl [mm] \epsilon_r=2 [/mm] gefüllt. Der Kondensator wird mit einer Spannung U=2kV aufgeladen.
a)
Welche Kapazität C hat der Kondensator und welche Ladung [mm] \pm [/mm] Q tragen die Kugeln?
Wie groß sind die Feldstärken [mm] \overrightarrow{E} [/mm] an der inneren und äußeren Kugel?
Wie groß ist die Feldenergie W?
Welchen Wert hat die Kapazität C, wenn [mm] r_a>>r_i=5cm [/mm] gilt?
b)
Der Kondensator aus a) schlägt bei einer kritischen Feldstärke [mm] E_k= [/mm] 30 kV/m durch. Wie groß muss bei festgelegtem Außenradius [mm] r_a=6cm [/mm] der Innenradius [mm] r_i [/mm] gewählt werden, damit eine möglichst hohe Spannung angelegt werden kann? Welchen Wert erreicht sie dann? |
Hallo!
Wollte fragen ob ich das mit diesen Formeln berechne:
a) Kapazität: [mm] C=4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*\bruch{r_i*r_a}{r_a-r_i} [/mm]
[mm] \Rightarrow C=4*\pi*8.85*10^{-12}\bruch{As}{Vm}*2*\bruch{0.05m*0.06m}{0.06m-0.05m} [/mm] = 6.67*10^(-11) F
Ladung [mm] \pmQ
[/mm]
[mm] U=\bruch{Q}{4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r}*(\bruch{1}{r_i}-\bruch{1}{r_a}) \gdw [/mm] Q= [mm] \bruch{U*4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r}{(\bruch{1}{r_i}-\bruch{1}{r_a})}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Q=\bruch{2000V*4*\pi*8.85*10^(-12) \bruch{As}{Vm}*2}{(\bruch{1}{0.05m}-\bruch{1}{0.06m})} [/mm] = 1.33*10^(-7) C
[mm] \Rightarrow Q=\pm1.33*10^{-7} [/mm] C
Feldstärke
[mm] E=\bruch{Q}{4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*r^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Feldstärke innere [mm] Kugel:E_i=\bruch{Q}{4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*r_i^2} [/mm] = [mm] \bruch{1.33*10^(-7) C}{4*\pi*8.85*10^(-12) \bruch{As}{Vm}*2*(0.05m)^2} [/mm] = 239 182 [mm] \bruch{V}{m}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Feldstärke äußere [mm] Kugel:E_a=\bruch{Q}{4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*r_a^2} [/mm] = [mm] \bruch{1.33*10^(-7) C}{4*\pi*8.85*10^(-12) \bruch{As}{Vm}*2*(0.06m)^2} [/mm] = 166 098.61 [mm] \bruch{V}{m}
[/mm]
Feldernergie
[mm] W=\bruch{1}{2}*C*U^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*6.67*10^{-11} F*(2000V)^2 [/mm] = 1.334*10^(-4) J
Kapazität bei [mm] r_a>>r_i=5cm
[/mm]
[mm] C=4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*\bruch{r_i*r_a}{r_a-r_i} \gdw C=4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*r_i*\bruch{r_a}{r_a-r_i}
[/mm]
für [mm] r_a \to \infty [/mm] : [mm] \bruch{r_a}{r_a-r_i} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] bei [mm] r_a>>r_i=5cm [/mm] : [mm] C=4*\pi*\epsilon_0*\epsilon_r*r_i [/mm] = 1.11*10^(-11) F
Ist a) soweit richtig?
Bei b) weiß ich nicht wie ich vorgehen muss, da fehlt mir die Idee.. kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Wenn ich aus E Q berechne und dann U nach [mm] r_i [/mm] maximiere bekomme ich keine relle Lösung...
Vielen Dank schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Rechnung zu a) ist in Ordnung. Für die b) brauchst Du den Zusammenhang zwischen der Feldstärke zwischen den beiden Kugeln und der damit verknüpften Spannung.
Für die Feldstärke hast Du die Gleichung ja bereits angegeben:
[mm] E = \bruch{Q}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon_r r^2 [/mm] auf einer Kugel, die den Abstand r vom Ursprung besitzt.
Die Feldstärke hat nur eine Komponente in Radiusrichtung und somit ergibt sich als Spannung zwischen zwei Radien der Wert durch das Linienintegral
[mm] u = \int_{r_1}^{r_2} E \, dr [/mm]
Damit solltest Du weiterkommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 17.05.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Super! Danke!
Das heißt dann doch dass U immer größer wird, je keiner [mm] r_i [/mm] wird, richtig?
Also [mm] r_i \to [/mm] 0.
Dann kann ich ja aber kein konkretes U ausrechnen, sondern nur sagen für [mm] r_i \to [/mm] 0 : U [mm] \to \infty
[/mm]
Sehe ich das richtig?
Vielen Dank!!
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Hallo!
Da ist irgendwo ein Denkfehler drin.
Mit der Durchschlagsfestigkeit ist nicht gemeint, daß das Feld im Durchschnitt den gegebenen Wert nicht überschreiten darf. Statt dessen ist das Feld direkt an der Oberfläche der Innenkugel am höchsten, und darf genau dort den Maximalwert nicht überschreiten.
Ist die Geometrie fest und man erhöht einfach die Spannung, wird man ganz sicher irgendwann den maximalwert erreichen.
Genauso wird irgendwann eine Verkleinerung der Innenkugel wegen dem 1/r² zu einem zu hohen Feldwert führen.
Der Weg besteht darin, die Ladung Q aus Geometrie und Ladung zu berechnen, und das in [mm] \frac{1}{4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0}\frac{Q}{r_i^2} [/mm] einzusetzen.
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