Kugel (schapunkt) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Sa 16.04.2005 | | Autor: | LaLeLu |
Morgen,
Also die Punkte A (-6/0/9), B(10/12/9) und C(c1/c2/c3) bilden ein Dreieck, das bei C Rechtwinklig sein soll. Zeigen Sie, dass alle diese Punkte C auf einer Kugel liegen und geben Sie de Kugelgleichung an.
Wir haben diese Aufgabe schon in der Schule gemacht und dort das Scalar vom Vektor CA und CB gebildet und dann daraus eine Kugelgleichung geformt. Ich verstehe allerdings nicht mehr warum. Also warum dann daraus die Kugelgleichung werden könnte (also den Zusammenhang).
Dann geht die Aufgabe noch weiter. Wenn das rechtwinklige Dreieck ABC bei A einen Winkel von 60° besitzt, liegen alle noch möglichen Punkte C auf einem Kreis. Bestmmen Sie Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Geben Sie eine Gleichung F an, in der dieser Kreis liegt.
Dazu habe ich keine Aufzeichnungen mehr. Ich verstehe wie der Kreis dann aussieht. Die Höhe des Dreiecks müsste dann ja der Radius sein und der Fupunkt der Höhe auf die Strecke AB der Mittelpunkt oder ?
Ich verstehe aber nicht wie ich rechnerisch da dran komme ohne C gegeben zu haben.
Vielen Dank
LG
Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Pia
Ich denke, du solltest dir die Aufgabe zunächst im Zweidimensionalen klar machen.
Zeichne doch mal in der Ebene zwei Punkte, zum Beispiel A(2/2) und B(10/8).
Wenn jetzt nach dem Ort eines Punktes C(x,y) gefragt ist, so dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, wirst du doch sicher sofort sagen: Klar, einfach, ich nehme doch einfach den Thaleskreis! Der Mittelpunkt müsste wohl genau zwischen A und B liegen!
Wenn du dann in Gedanken noch das Gebilde, also mit Thaleskreis, um die Strecke AB rotieren lässt, entsteht doch so etwas wie eine "Thaleskugel". Und genau so eine ist ja in deiner Aufgabe gesucht.
Verweilen wir aber nochmals bei unseren 2 Dimensionen.
Du kannst natürlich die Verbindung AC und BC jeweils als Vektoren auffassen. Und die sollen senkrecht zueinander stehen!
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Diese Tatsache musst du dir unbedingt merken! Die kommt immer wieder zur Anwendung, selbst in der allerhöchsten der hohen Matematiken! 
[mm] $\vec{AC}=\vektor{x-2\\y-2}$
[/mm]
[mm] $\vec{BC}=\vektor{x-10\\y-8}$
[/mm]
Jetzt also einfach das Skalarprodukt Null setzen:
$(x-2)*(x-10)+(y-2)*(y-8)=0$
[mm] $x^2-12x+20+y^2-10y+16=0$
[/mm]
[mm] $x^2-12x+y^2-10y=-36$
[/mm]
Jetzt quadratische Formen bilden:
[mm] $x^2-12x+36+y^2-10y+25=-36+36+25$
[/mm]
[mm] $(x-6)^2+(y-5)^2=25$
[/mm]
So, damit ist wie durch ein Wunder die Gleichung des Thaleskreises entstanden! 
Der Mittelpunkt davon ist ersichtlich M(6/5), was wie erwartet genau zwischen den Punkten A und B liegt!
> Morgen,
>
> Also die Punkte A (-6/0/9), B(10/12/9) und C(c1/c2/c3)
> bilden ein Dreieck, das bei C Rechtwinklig sein soll.
> Zeigen Sie, dass alle diese Punkte C auf einer Kugel liegen
> und geben Sie de Kugelgleichung an.
>
> Wir haben diese Aufgabe schon in der Schule gemacht und
> dort das Scalar vom Vektor CA und CB gebildet und dann
> daraus eine Kugelgleichung geformt. Ich verstehe
> allerdings nicht mehr warum. Also warum dann daraus die
> Kugelgleichung werden könnte (also den Zusammenhang).
>
Kannst du das jetzt anhand meinees obigen Beispiels wieder nachvollziehen? (Ich würde allerdings auch hier gerade die Koordinaten des Punktes C mit x, y und z bezeichen).
> Dann geht die Aufgabe noch weiter. Wenn das rechtwinklige
> Dreieck ABC bei A einen Winkel von 60° besitzt, liegen alle
> noch möglichen Punkte C auf einem Kreis. Bestmmen Sie
> Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Geben Sie eine
> Gleichung F an, in der dieser Kreis liegt.
>
Damit ist wohl die Gleichung einer Ebene gemeint, oder?
Versuchst du bitte zunächst, die erste Teilaufgabe zu begreifen und wieder nachzuvollziehen?
Für den zweiten Teil werden wir uns danach etwas unterhalten, du musst dich aber sieder melden, mit deinen Erfolgserlebnissen! Versprochen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 16.04.2005 | | Autor: | LaLeLu |
>
> Wenn jetzt nach dem Ort eines Punktes C(x,y) gefragt ist,
> so dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, wirst du doch
> sicher sofort sagen: Klar, einfach, ich nehme doch einfach
> den Thaleskreis! Der Mittelpunkt müsste wohl genau zwischen
> A und B liegen!
Also ich wusste bissher noch nicht wirklich was der Thaleskreis ist, deshalb bin ich da wohl nicht drauf gekommen. Aber die Idee hatte ich auch schon, dass der Mittelpunkt dann (2/6/9) sein müsste.
>
> Wenn du dann in Gedanken noch das Gebilde, also mit
> Thaleskreis, um die Strecke AB rotieren lässt, entsteht
> doch so etwas wie eine "Thaleskugel". Und genau so eine ist
> ja in deiner Aufgabe gesucht.
Ok kapiert
Also die Umformung habe ich nun auch verstanden. Ich bekomme den Mittelpunkt (2/6/9) und r= 10, aber ich verstehe den Zusammenhang zwischen der Tatsache, dass die Vektoren AC und BC aufeinander senkrecht stehen und dem Skalarprodukt nicht. Wieso kommt da eine Kugelgleichung raus ? Oder hat das etwas mit dem Thaleskreis zu tun, den man dadurch bestimmen kann ?
Dann finde ich nur blöd, dass wir den nicht durchgenommen haben.
Na ja ich weiß es nun ja.
>
> > Dann geht die Aufgabe noch weiter. Wenn das rechtwinklige
> > Dreieck ABC bei A einen Winkel von 60° besitzt, liegen alle
> > noch möglichen Punkte C auf einem Kreis. Bestmmen Sie
> > Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Geben Sie eine
> > Gleichung F an, in der dieser Kreis liegt.
> >
> Damit ist wohl die Gleichung einer Ebene gemeint, oder?
Ja genau
>
> Versuchst du bitte zunächst, die erste Teilaufgabe zu
> begreifen und wieder nachzuvollziehen?
>
> Für den zweiten Teil werden wir uns danach etwas
> unterhalten, du musst dich aber sieder melden, mit deinen
> Erfolgserlebnissen! Versprochen?
Also zum 2. finde ich den Ansatz nicht, vielleicht einen Tipp
Danke übrigens sehr schonmal für deine erste Antwort.
LG
Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Pia
> Also ich wusste bissher noch nicht wirklich was der
> Thaleskreis ist, deshalb bin ich da wohl nicht drauf
> gekommen. Aber die Idee hatte ich auch schon, dass der
> Mittelpunkt dann (2/6/9) sein müsste.
>
Also, ich denke, dann solltest du unbedingt dich noch informieren, wie das mit dem Thaleskreis steht! Ich dachte immer, das sei ein unerlässliches Thema in der Geometrie, so zirka in der 8. Klasse.
>
> Also die Umformung habe ich nun auch verstanden. Ich
> bekomme den Mittelpunkt (2/6/9) und r= 10, aber ich
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das habe ich auch erhalten.
> verstehe den Zusammenhang zwischen der Tatsache, dass die
> Vektoren AC und BC aufeinander senkrecht stehen und dem
> Skalarprodukt nicht. Wieso kommt da eine Kugelgleichung
> raus ? Oder hat das etwas mit dem Thaleskreis zu tun, den
> man dadurch bestimmen kann ?
Na ja, das mit dem Thaleskreis war nur eine Idee, um zu zeigen, wie man sich das geometrisch überlegen könnte, um nachher das Resultat auch etwas zu begreifen! Aber wenn man den Thaleskreis nicht kennt, ist das wohl keine gute Idee. :-(
> Dann finde ich nur blöd, dass wir den nicht durchgenommen
> haben.
> Na ja ich weiß es nun ja.
Das Skalarprodukt liefert ja einen Wert, der sich auch so berechnen lässt:
[mm] $\vec{a}*\vec{b}= |a|*|b|*\cos\alpha$
[/mm]
Wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Und wenn der Winkel 90° ist, ist der Kosinus eben Null! Darum ist das Skalarprodukt Null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Wenn man die Bedingung in deiner Aufgabe ausrechnet, kommt dann eben eine Kugelgleichung heraus. Die Überlegung mit dem Thaleskreis liess das ja vermuten, die Rechnung hat diese Vermutung lediglich bestätigt! Das ist eben das Schöne an der Mathematik: alles passt immer wieder schön zusammen, auf welchem Wege man auch die Lösung der Aufgaben sucht. Deine Aufgabe war es, mit dem Skalarprodukt zu arbeiten. Man hätte auch mit der Thaleskreisüberlegung arbeiten können. Wir haben das nur aus Freude an dieser schönen Aufgabe getan!
> Dann geht die Aufgabe noch weiter. Wenn das rechtwinklige
> Dreieck ABC bei A einen Winkel von 60° besitzt, liegen alle
> noch möglichen Punkte C auf einem Kreis. Bestmmen Sie
> Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Geben Sie eine
> Gleichung F an, in der dieser Kreis liegt.
> Damit ist wohl die Gleichung einer Ebene gemeint, oder?
Ich schlage vor, zeichne dein Dreieck doch mal auf ein Blatt Papier auf.
ABC, in C der rechte Winkel, bei A der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] mit 60°.
Die Seite AB schreibst du mit 20 an. (Sie ist ja der Durchmesser deiner Kugel, die einen Radius von 10 hat.)
Kannst du erkennen, dass diese Dreieck die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks ist? Die Strecke AC hat nämlich die Länge 10. Wenn du das Dreieck in Gedanken um die Seite BC klappst, dann entsteht das gnze gleichseitige Dreieck, mit einer Seitenlänge von 20. Darum: Länge von AC = 10.
Wenn du all diese Überlegungen nachvollzugen hast, dann zeichnest du die Höhe [mm] $h_c$ [/mm] ein, Höhenfusspunkt D. Siehst du, dass das Dreieck ACD wieder die Hälfte eines gleichseitigen Dreicks ist? Das heisst dann, dass die Länge AD = 5 ist. Oder anders ausgedrückt: der Abstand D von A ist genau ein Viertel des Abstandes AB.
So können wir die gesuchte Ebengleichung überlegen: (jetzt wieder im Dreidimensionalen)
Der Vektor [mm] $\vec{AB}$ [/mm] muss ja senkrecht zu deiner Ebene stehen.
[mm] $\vec{AB}=\vektor{16\\12\\0}$
[/mm]
Das gibt schon mal diese Form für die Ebenengleichung:
$16x+12y+0z=d$
Oder einfacher:
$16x+12y=d$
Der Punkt, der auf dem Viertel Weg von der Strecke von A nach B liegt, muss also auf der Ebene liegen. Bestimmen wir also diesen Punkt:
A plus ein Viertel des Vektors von A nach B:
[mm] $\vektor{-6\\0\\9}+\bruch{1}{4}\vektor{16\\12\\0}=\vektor{-6\\0\\9}+\vektor{4\\3\\0}=\vektor{-2\\3\\9}$
[/mm]
Das kannst du in der Ebenengleichung einsetzen, um d zu bestimmen:
(Also x = -2, y = 3, z spielt keine Rolle):
$-32+36=d$
$d=4$
Jetzt kennst du die Ebenengleichung! Du brauchst dieses d nur einzusetzen. Ich würde dann die ganze Gleichung noch durch 4 dividieren.
Wie gross ist nun der Radius des Kreises?
Nun, das muss wohl gerade unsere eingezeihnete Höhe [mm] $h_c$ [/mm] sein! Die kannst du mit Pythagoras ja leicht bestimmen.
Wenn du noch Fragen hast, dann meldest du dich einfach wieder!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 18.04.2005 | | Autor: | LaLeLu |
Hi Paul,
danke für die ausführlichen Antworten, so verstehe ich das :)
> Also, ich denke, dann solltest du unbedingt dich noch
> informieren, wie das mit dem Thaleskreis steht! Ich dachte
> immer, das sei ein unerlässliches Thema in der Geometrie,
> so zirka in der 8. Klasse.
Ja ok vielleicht erinnere ich mich nicht mehr an die 8. :)
>
> Das Skalarprodukt liefert ja einen Wert, der sich auch so
> berechnen lässt:
>
> [mm]\vec{a}*\vec{b}= |a|*|b|*\cos\alpha[/mm]
>
> Wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
> Und wenn der Winkel 90° ist, ist der Kosinus eben Null!
> Darum ist das Skalarprodukt Null, wenn die Vektoren
> senkrecht aufeinander stehen.
>
> Wenn man die Bedingung in deiner Aufgabe ausrechnet, kommt
> dann eben eine Kugelgleichung heraus. Die Überlegung mit
> dem Thaleskreis liess das ja vermuten, die Rechnung hat
> diese Vermutung lediglich bestätigt! Das ist eben das
> Schöne an der Mathematik: alles passt immer wieder schön
> zusammen, auf welchem Wege man auch die Lösung der Aufgaben
> sucht. Deine Aufgabe war es, mit dem Skalarprodukt zu
> arbeiten. Man hätte auch mit der Thaleskreisüberlegung
> arbeiten können. Wir haben das nur aus Freude an dieser
> schönen Aufgabe getan!
eine wunderschöne Aufgabe ;) wehe soetwas bekomme ich im Abi
ich versuche den Zusammenhang nochmal genauer zu begreifen, habe es aber im Prinzip verstanden.
>
> > Dann geht die Aufgabe noch weiter. Wenn das rechtwinklige
> > Dreieck ABC bei A einen Winkel von 60° besitzt, liegen alle
> > noch möglichen Punkte C auf einem Kreis. Bestmmen Sie
> > Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Geben Sie eine
> > Gleichung F an, in der dieser Kreis liegt.
>
> > Damit ist wohl die Gleichung einer Ebene gemeint, oder?
>
> Ich schlage vor, zeichne dein Dreieck doch mal auf ein
> Blatt Papier auf.
>
> ABC, in C der rechte Winkel, bei A der Winkel [mm]\alpha[/mm] mit
> 60°.
>
> Die Seite AB schreibst du mit 20 an. (Sie ist ja der
> Durchmesser deiner Kugel, die einen Radius von 10 hat.)
>
> Kannst du erkennen, dass diese Dreieck die Hälfte eines
> gleichseitigen Dreiecks ist? Die Strecke AC hat nämlich die
> Länge 10. Wenn du das Dreieck in Gedanken um die Seite BC
> klappst, dann entsteht das gnze gleichseitige Dreieck, mit
> einer Seitenlänge von 20. Darum: Länge von AC = 10.
Ok ich habe es gezeichnet und erkenne das gleichseitige Dreieck.
>
> Wenn du all diese Überlegungen nachvollzugen hast, dann
> zeichnest du die Höhe [mm]h_c[/mm] ein, Höhenfusspunkt D. Siehst du,
> dass das Dreieck ACD wieder die Hälfte eines gleichseitigen
> Dreicks ist? Das heisst dann, dass die Länge AD = 5 ist.
Ja sehe ich (würde ich aber nie allein folgern).
> Oder anders ausgedrückt: der Abstand D von A ist genau ein
> Viertel des Abstandes AB.
Das sind dann Bedingungen für die Längen in einem gleichschenkligen Dreieck, gell ?.
> So können wir die gesuchte Ebengleichung überlegen: (jetzt
> wieder im Dreidimensionalen)
>
> Der Vektor [mm]\vec{AB}[/mm] muss ja senkrecht zu deiner Ebene
> stehen.
>
> [mm]\vec{AB}=\vektor{16\\12\\0}[/mm]
> Das gibt schon mal diese Form für die Ebenengleichung:
>
> [mm]16x+12y+0z=d[/mm]
>
> Oder einfacher:
>
> [mm]16x+12y=d[/mm]
>
> Der Punkt, der auf dem Viertel Weg von der Strecke von A
> nach B liegt, muss also auf der Ebene liegen. Bestimmen wir
> also diesen Punkt:
>
> A plus ein Viertel des Vektors von A nach B:
>
> [mm]\vektor{-6\\0\\9}+\bruch{1}{4}\vektor{16\\12\\0}=\vektor{-6\\0\\9}+\vektor{4\\3\\0}=\vektor{-2\\3\\9}[/mm]
>
> Das kannst du in der Ebenengleichung einsetzen, um d zu
> bestimmen:
>
> (Also x = -2, y = 3, z spielt keine Rolle):
>
> [mm]-32+36=d[/mm]
>
> [mm]d=4[/mm]
>
> Jetzt kennst du die Ebenengleichung! Du brauchst dieses d
> nur einzusetzen. Ich würde dann die ganze Gleichung noch
> durch 4 dividieren.
Die Ebenengleichung ist ja dann 1=4x+3y
> Wie gross ist nun der Radius des Kreises?
Der Radius ist doch dann die Höhe hc. Das kann man doch dann mit sinus berechnen oder. sin 60°= hc/10
Dann ist der Radius 5*Wurzel(3) LE. Und wie gesagt der Mittelpunkt ist d.
> Nun, das muss wohl gerade unsere eingezeihnete Höhe [mm]h_c[/mm]
> sein! Die kannst du mit Pythagoras ja leicht bestimmen.
Ja ok das habe ich gerade erst gelesen, aber mit sin gehts ja auch
Also wenn der Radius richtig ist, habe ich alles verstanden.
Vielen dank nochmal
LG
Pia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Pia
wunderbar, du hast alles nachvollziehen können!
Und ja, es geht natürlich mit dem Sinus, man kann [mm] $h_c$ [/mm] so berechnen. Ich würde aber generell die Winkelfunktionen nur einsetzen, wenn es nicht auf eine andere Art geht!
Die Winkelfunktionen haben es ja so an sich, dass man oft zu ihrer konkreten Berechnung einen Taschenrechner braucht, die Anwendung des Pythagoras eher weniger!
Und die Sache mit dem Rechtwinkligen Dreieck, mit einem 60°- respektive 30°-Winkel als die Hälfte eines gleischseitigen Dreieckes aufzufassen, kommt sehr oft zur Anwendung. Das würde ich mir irgendwie merken. Müsste aber nicht so schwer zu merken sein, da ja allgemein bekannt sein sollte, dass die Winkel eines gleichseitigen Dreieckes eben alle 60° sind. Dann brauchst du nur noch eine Höhe einzuzeichnen, und schon hast dus!
Ich wünsche dir noch viel Spass bei den weiteren kniffligen Matheaufgaben und recht viel erfolg beim Abi. Ich drücke dir die Daumen!
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 18.04.2005 | | Autor: | LaLeLu |
Danke fürs Glück und für die Hilfe
LG
Pia
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