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| Aufgabe | | Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Kugel K auf, welche den Punkt A(1/5/8) enthält und die y-z-Ebene im Punkt B(0/4/4) berührt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Es geht also darum wie man von einer Tangentialebene auf eine Kugelgleichung kommt.
Ich habe mir Überlegt, dass da ja - eigentlich - ganz einfach sein müsste.
Die Ebenengleichung lautet in der Normalform allgemein
E: [mm] (\vec{x}-\vec{b})*\vec{n}=0
[/mm]
Die Tangetialebene lautet allgemein
[mm] T:(\vec{x}-\vec{b})*(\vec{b}-\vec{m})=0 [/mm] (M ist Mittelpunkt der Kugel)
Wenn man die Gleichungen miteinander vergleicht, liegt es nahe einfach
[mm] \vec{m}=\vec{b}-\vec{n} [/mm] zu setzten.
Das klappt auch manchmal, nämlich dann, wenn man die Tangetialebene vorher aus Kugel"daten" errechnet hat.
Bei obiger Aufgabe kann man sein den Normalenvektor (beziehungsweise seinen x-Wert) aber frei wählen, es existieren ja unendlich viele paralle.
Entsprechend erhält man für M ganz unterschiedliche Ergebnisse.
Man muss also irgendwie A einbeziehen....aber wie?
Ich habe alles probiert und nie ein gescheites Ergebnis erhalten. Bitte helft mir, ich schreibe morgen Mathe-LK und soll mir diese Aufgabe "nochmal ganz genau anschauen" (Und wir haben heute erst mit dem Thema Kugeln angefangen!)
Danke!
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Hallo bluepearl und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Kugel K auf, welche
> den Punkt A(1/5/8) enthält und die y-z-Ebene im Punkt
> B(0/4/4) berührt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
>
> Es geht also darum wie man von einer Tangentialebene auf
> eine Kugelgleichung kommt.
>
> Ich habe mir Überlegt, dass da ja - eigentlich - ganz
> einfach sein müsste.
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> Die Ebenengleichung lautet in der Normalform allgemein
>
> E: [mm](\vec{x}-\vec{b})*\vec{n}=0[/mm]
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> Die Tangetialebene lautet allgemein
>
> [mm]T:(\vec{x}-\vec{b})*(\vec{b}-\vec{m})=0[/mm] (M ist
> Mittelpunkt der Kugel)
>
> Wenn man die Gleichungen miteinander vergleicht, liegt es
> nahe einfach
>
> [mm]\vec{m}=\vec{b}-\vec{n}[/mm] zu setzten.
>
> Das klappt auch manchmal, nämlich dann, wenn man die
> Tangetialebene vorher aus Kugel"daten" errechnet hat.
>
> Bei obiger Aufgabe kann man sein den Normalenvektor
> (beziehungsweise seinen x-Wert) aber frei wählen, es
> existieren ja unendlich viele paralle.
> Entsprechend erhält man für M ganz unterschiedliche
> Ergebnisse.
> Man muss also irgendwie A einbeziehen....aber wie?
> Ich habe alles probiert und nie ein gescheites Ergebnis
> erhalten. Bitte helft mir, ich schreibe morgen Mathe-LK und
> soll mir diese Aufgabe "nochmal ganz genau anschauen" (Und
> wir haben heute erst mit dem Thema Kugeln angefangen!)
Tipp: wenn B der Berührpunkt auf der y-z-Ebene ist, liegt der Mittelpunkt "senkrecht" darüber/darunter,
genauer: aus dieser Eigenschaft kannst du schon zwei Koordinaten des Mittelpunkts ermitteln....
Die letzte Koordinate solltest du mit Hilfe von A ermitteln können.
Nimm die Koordinatengleichung der Kugel und setze ein.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mo 03.12.2007 | | Autor: | bluepearl |
Dankeschön, das war der entscheidende Tipp! Wenn man sich das klar gemacht hat,ist die Aufgabe gar nicht mehr schwer ;)
Ich konnte dann einfach die Koordinatengleichung der Kugel nehmen und r als Betrag des Differenzvektors von M und B darstellen. Wen ich alles richtig aufgelöst habe, ist das Ergebnis für die x-Koordinate des Mittelpunktes 9.
Grüße, bluepearl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mo 03.12.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo bluepearl,
wahrscheinlich ist das nicht die Richtung, die Du gehen willst, aber was hälst Du von Folgendem:
Durch den Punkt B und den Normalenvektor ist eine Gerade gegeben. Du kannst also eine Gleichung angeben, die alle Punkte dieser Grade liefert. Gesucht ist nun der Punkt M auf der Gerade, der zu B und A den gleichen Abstand hat. Das ist der Mittelpunkt der Kugel.
M = B + r n mit noch zu bestimmenden r.
Abstand M-B = Abstand M-A sollte Dir eine Gleichung liefern, aus der Du r Berechnen kannst. (Meine Idee, ausprobiert habe ich es nicht.)
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