Kugel - Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 28.05.2005 | | Autor: | brite |
Hi,
ich habe folgendes Problem: es gibt 2 Kugeln mit r = 4 welche die Ebene
E: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 8 berühren und deren Mittelpunkte auf der Geraden durch P(0|0|1) und Q(1|2|2) liegen. Ich soll die Mittel- und Berührpunkte erstellen. Wie mache ich das?
Lösungsansatz: man könnte eine Hilfsebene, [mm] E_{2}, [/mm] mit Abstand = 4 zu E erstellen, und dann den Durchstoßpunkt von [mm] E_{2} [/mm] und g ausrechnen.. aber irgendwie habe ich voll den blackout (vlt. wegen der Hitze).. und schaffe es deshalb nicht die Hilfsebene zu erstellen und den Durchstoßpunkt zu berechnen. Könntet ihr mir weiterhelfen, bzw. mir einen Stups in die richtige Richtung geben?
mfg,
axel
ps. das hier ist ein nettes forum!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi,
du könntest je eine senkrechte zur Ebene bilden, die im Abstand 4 die Gerade g schneidet. der Durchstoßpunkt der Senkrechten ist dann der berühr Punkt und der schnittpunkt mit g ist der Kugelmittelpunkt. leider hatte ich nicht die Zeit die Aufgabe selber durchzurechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Sa 28.05.2005 | | Autor: | brite |
erstmal danke für die Antwort ;)
aber wie finde ich denn eine Senkrechte zu E die g im Abstand 4 schneidet? Dafür müsste ich ja den Fußpunkt ( hier auch gleichzeitig Berührpunkt ) vom Mittelpunkt ( bzw. Kugel ) auf der Ebene schon wissen und genau da weiß ich nicht weiter. Ich suche also den Ortsvektor der Senkrechten auf g.
mfg
axel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 29.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Axel,
> aber wie finde ich denn eine Senkrechte zu E die g im
> Abstand 4 schneidet? Dafür müsste ich ja den Fußpunkt (
> hier auch gleichzeitig Berührpunkt ) vom Mittelpunkt ( bzw.
> Kugel ) auf der Ebene schon wissen und genau da weiß ich
> nicht weiter. Ich suche also den Ortsvektor der Senkrechten
> auf g.
Ich gehe noch mal zurück auf deinen Lösungsansatz.
Du kannst die Ebenengleichung mit Hilfe des Normaleneninheitsvektors schreiben.
[mm] E: \bruch{2}{3} x_1 - \bruch{1}{3} x_2 + \bruch{2}{3} x_3 = \bruch{8}{3} [/mm]
Die parallelen Ebenen im Abstand 4 bekommst du jetzt einfach, indem du auf der rechten Seite einmal 4 addierst und einmal subtrahierst.
Eine andere Überlegung; Du nimmst einen Punkt der Ebene E, addierst (bzw. subtrahierst) zum zugehörigen Ortsvektor einen Normalenvektor von E mit der Länge 4, dann erhälst du jeweils einen Ortsvektor zu einem Punkt der beiden parallelen Ebenen.
Eine andere Möglichkeit die Mittelpunkte zu finden, ist die folgende: Du setzt einen beliebigen Punkt P (in Abhängigkeit vom Geradenparameter) in die Abstandsformel ein und setzt den Abstand gleich 4.
Reicht das als Lösungshinweis?
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 29.05.2005 | | Autor: | brite |
Ja, danke das hat mir geholfen :)
Ist ja eigentlich einfach :P
für Interessierte: der obere Kugel: Mittelpunkt (3|6|4), Berührpunkt( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] | [mm] \bruch{14}{3} [/mm] | [mm] \bruch{4}{3} [/mm] )
untere Kugel: Mittelpunkt (-1|-2|0) Berührpunkt( [mm] \bruch{5}{3}| -\bruch{2}{3}| \bruch{8}{3}
[/mm]
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