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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 26.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Wir betrachten in [mm] \IR^{3} [/mm] die PUnkte = = (0, 0, 0), P = (1, 1, 1) und Q = (3, 1, 1).
(b) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die P enthält und senkrecht auf [mm] \vec{q} [/mm] = (3, 1, [mm] 1)^{T} [/mm]
steht. |
Nabend,
also bei dieser Teilaufgabe habe ich ein Problem am Ende. Zunächst weiß ich ja, dass P in der Ebene
liegt also nehme ich P als Stützvektor der Ebene und dann brauche ich ja noch zwei Spannvektoren. Einer lässt sich einfach aus [mm] \vec{q} [/mm] errechnen, man nimmt einfach zwei Komponenten, vertauscht diese, setzt vor einer ein Minus und macht die dritte Komponente gleich 0. Dann hätte ich schonmal sowas für die Gleichung:
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] s\vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] t\vec{b}
[/mm]
Jetzt komme ich aber einfach nicht darauf wie ich den zweiten berechne. Ich habe gedacht ich nehme das Kreuzprodukt meines anderen Spannvektors und [mm] \vec{q}, [/mm] aber das klappt nicht. Der Vektor der entsteht, ist nicht senkrecht zu den beiden anderen.
Kann mir jemand weiter helfen?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten in [mm]\IR^{3}[/mm] die PUnkte = = (0, 0, 0), P = (1,
> 1, 1) und Q = (3, 1, 1).
>
> (b) Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die P enthält
> und senkrecht auf [mm]\vec{q}[/mm] = (3, 1, [mm]1)^{T}[/mm]
> steht.
> Nabend,
>
> also bei dieser Teilaufgabe habe ich ein Problem am Ende.
> Zunächst weiß ich ja, dass P in der Ebene
> liegt also nehme ich P als Stützvektor der Ebene und dann
> brauche ich ja noch zwei Spannvektoren. Einer lässt sich
> einfach aus [mm]\vec{q}[/mm] errechnen, man nimmt einfach zwei
> Komponenten, vertauscht diese, setzt vor einer ein Minus
> und macht die dritte Komponente gleich 0. Dann hätte ich
> schonmal sowas für die Gleichung:
>
> E : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]s\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> + [mm]t\vec{b}[/mm]
>
> Jetzt komme ich aber einfach nicht darauf wie ich den
> zweiten berechne. Ich habe gedacht ich nehme das
> Kreuzprodukt meines anderen Spannvektors und [mm]\vec{q},[/mm] aber
> das klappt nicht. Der Vektor der entsteht, ist nicht
> senkrecht zu den beiden anderen.
> Kann mir jemand weiter helfen?
welche zwei anderen? Dass die Ebene senkrecht auf [mm] $\vec{q}$ [/mm] stehen soll, bedeutet, dass für alle Punkte [mm] $P_1,P_2$ [/mm] der Ebene
[mm] $$<\overrightarrow{P_1P_2},\vec{q}>=0$$
[/mm]
gelten muss - dabei bezeichnet $<.,.>$ das euklidische Standard-Skalarprodukt des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
Nun sei [mm] $P_2=X=(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] irgendein Punkt der Ebene. Weil [mm] $P_1:=P=(1,1,1)$ [/mm] zur Ebene gehört, ist dann [mm] $X\,$ [/mm] charakterisiert durch
[mm] $$<\overrightarrow{PX},\vec{q}>=0\,.$$
[/mm]
Anders ausgedrückt:
[mm] $$(x_1-p_1)*q_1+(x_2-p_2)*q_2+(x_3-p_3)*q_3=0\,.$$
[/mm]
Dort ist nur noch [mm] $p_1=p_2=p_3=1$ [/mm] und [mm] $q_1=3,\,$ $q_2=q_3=1$ [/mm] einzusetzen. Das ist dann die Gleichung der Ebene in einer Normalenform. Du kannst sie natürlich auch noch in eine Parameterform oder auch in eine spezielle Normalenform, die Hessesche Normalenform, bringen.
![[]](/images/popup.gif) Hier sollte etwas dazu stehen (ich hab' mir allerdings nicht angeguckt, wie gut der Link ist - also weder, ob da noch Fehler drin sind oder ob dort qualitativ alles in Ordnung ist).
Gruß,
Marcel
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