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Hallo, kann mir jemand bei dem Beweis helfen ?
Seien a,b [mm] \in \IR3. [/mm] Welchen Flächeninhalt gibt der Betrag des Kreuzproduktes |axb| an ? Zeigen sie den Zusammenhang mathematisch unter der Annahme, dass |axb| rotationsinvariant ist.
Hinweis:
Gezeigt werden soll mathematisch der Zusammenhang zwischen dem Betrag des Kreuzproduktes und einem speziellen Flächeninhalt.
Ausgehend von der Definition des Kreuzproduktes ist dazu insbesondere eine Formel zu beweisen, die eine trigonometrische Funktion enthält. Diese Formel gilt nicht als vorausgesetzt, sondern soll hergeleitet werden!
Vielen Dank im voraus.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
bevor dir hier geholfen werden kann, solltest du vielleicht mal schreiben, wie deine Ansätze bisher aussehen und woran du genau gescheitert bist.
Viele Grüße
Astrid
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Also, was ich bis jetzt weiß ist folgendes:
Das Ergebnis des Kreuproduktes zweier Vektoren a und b ist ein neuer Vektor c. Dieser steht senkrecht auf diesen beiden Vektoren. Der Betrag dieses Vektors c beschreibt den Flächeninhalt des Parallelogramms, das diese beiden Vektoren aufspannen. Es gilt:
|c|=sin [mm] \alpha [/mm] |a||b|, wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen a und b ist.
Das diese Aufgabe im Bezug auf Dreiecke gestellt wurde. Kann man jetzt noch sagen, dass ein Dreieck ein halbes Parallelogramm ist und man so praktisch den Flächeninhalt davon berechnen kann.
Mich stört vor allem die Bemerkung : "Unter der Vorraussetzung, dass |axb| Rotationsinvariant ist". Und wie leitet man es her, dass |c| gleich sin [mm] \alpha [/mm] |a||b| ist. Diese Herleitung ist vorallem wichtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 So 05.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Centurius_de,
> Also, was ich bis jetzt weiß ist folgendes:
> Das Ergebnis des Kreuproduktes zweier Vektoren a und b ist
> ein neuer Vektor c. Dieser steht senkrecht auf diesen
> beiden Vektoren. Der Betrag dieses Vektors c beschreibt den
> Flächeninhalt des Parallelogramms, das diese beiden
> Vektoren aufspannen. Es gilt:
> |c|=sin [mm]\alpha[/mm] |a||b|, wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel zwischen a
> und b ist.
>
> Das diese Aufgabe im Bezug auf Dreiecke gestellt wurde.
> Kann man jetzt noch sagen, dass ein Dreieck ein halbes
> Parallelogramm ist und man so praktisch den Flächeninhalt
> davon berechnen kann.
> Mich stört vor allem die Bemerkung : "Unter der
> Vorraussetzung, dass |axb| Rotationsinvariant ist". Und wie
> leitet man es her, dass |c| gleich sin [mm]\alpha[/mm] |a||b| ist.
> Diese Herleitung ist vorallem wichtig.
Ich weiß nicht, ob die Benatwortung noch für dich relevant ist, deswegen hier nur kurz meine Ideen dazu.
Rotationsinvariant bedeutet, dass das Vektorprodukt die oben von dir zitierten Eigenschaften behält, wenn man die beiden Vektoren (natürlich zusammen) rotiert.
Diese Invarianz erlaubt es, zunächst einmal durch Rotation zu erreichen, dass der Vektor [mm] $\vec [/mm] a$ auf der [mm] $x_2$-Achse [/mm] zu liegen kommt.
Durch eine weitere Rotation kommt der Vektor [mm] $\vec [/mm] b$ in der [mm] $x_{2}x_{3}$-Ebene [/mm] zu liegen.
Mit anderen Worten: Ich betrachte direkt zwei derartige Vektoren [mm] $\vektor{0\\d\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\b\\c}$.
[/mm]
Ihr Vektorprodukt beträgt: [mm] $\vektor{0\\b\\c}\times\vektor{0\\d\\0}=\vektor{-c*d\\0\\0}$
[/mm]
Hier sieht man jetzt sehr schön, dass das Vektorprodukt orthogonal zu den beiden Vektoren ist und die Länge des Vektorprodukts den Flächeninhalt des von [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$ aufgespannten Parallelogramms angibt.
Auch die Formel $|c|=sin [mm]\alpha[/mm] |a||b|$ läßt sich jetzt sehr einfach zeigen.
Wenn du noch Fragen hast, stelle sie bitte 
Viele Grüße,
Marc
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