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| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Identitäten für(x,y [mm] \in [/mm] R)
(a) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
(b) sinh(x + y) = cosh x sinh y + sinh x cosh y,
(c) cosh(2x) = 2 [mm] cosh(x)^2 [/mm] -1
Man bestimme sämtliche reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:
(a) sin(2x) - cos(2x)=1
(b) 2 [mm] sin^2(x)-\wurzel{2}cos(x)=2
[/mm]
(c) sin(2x) + 3 sin(x) - 2tan(x)=0
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hy
ich muss gleich am anfang sagen, dass es nicht so ist das ich keine ahnung habe von den kreisfunktionen.... aber ich versteh überhaupt nicht was ich bei den bsp machen soll...
ich bin für jede hilfe dankbar
danke
mfg
freezer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie folgende Identitäten für(x,y [mm]\in[/mm] R)
> (a) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
> (b) sinh(x + y) = cosh x sinh y + sinh x cosh y,
> (c) cosh(2x) = 2 [mm]cosh(x)^2[/mm] -1
>
> Man bestimme sämtliche reellen Lösungen der folgenden
> Gleichungen:
> (a) sin(2x) - cos(2x)=1
> (b) 2 [mm]sin^2(x)-\wurzel{2}cos(x)=2[/mm]
> (c) sin(2x) + 3 sin(x) - 2tan(x)=0
>
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> ich muss gleich am anfang sagen, dass es nicht so ist das
> ich keine ahnung habe von den kreisfunktionen
Gut!
.... aber ich
> versteh überhaupt nicht was ich bei den bsp machen soll...
Im ersten Aufgabenblock geht es darum, die Gleichung auf der linken Seite in die auf der rechten zu überführen.
Ich würde das so angehen, indem ich die Funktionsgleichungen für die hyperbolischen Funktionen verwende. (Die Dinger, in denen [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] vorkommt.)
z.B. 1a)
cosh x cosh y + sinh x sinh [mm] y=\bruch{1}{2}(e^x [/mm] + [mm] e^{-x})\bruch{1}{2}(e^y [/mm] + [mm] e^{-y}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(e^x [/mm] - [mm] e^{-x})\bruch{1}{2}(e^y [/mm] - [mm] e^{-y})
[/mm]
=...
[mm] =\bruch{1}{2}(e^{x+y} [/mm] + [mm] e^{-(x+y)}) [/mm] = cosh (x+y)
Im zweiten Block geht es darum, die x herauszufinden, die die Gleichung lösen.
Hier mußt Du bestimmt die Additionstheoreme für Vielfache des Argumentwertes verwenden, wissen, daß [mm] sin^2 [/mm] + [mm] cos^2 [/mm] =1 ist, und Grundlegendes über die Werte von sin und cos. Wann sie Null sind, wann sin=cos usw.
z.B. 2a)
sin(2x) - cos(2x)=1
<==> [mm] 2sinxcosx-cos^2 x+sin^2 x=sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x
usw.
Gruß v. Angela
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guten morgen
erstmals vielden dank für deine hilfe!!!!!!!!!!
den ersten aufgabenblock konnte ich nun durch deine hilfe ohne probleme lösen, danke
aber beim zweiten hänge ich aber noch.
ich komm nicht einmal mit deinem lösungsansatz zu einem ergebnis, ich wär dir sehr dankbar wenn du mir da noch ein wenig helfen könntest...
wahrscheinlich gibst auch noch etwas anderes wie die Additionstheoreme (die ich bis jetzt noch nicht kannte)...
danke
mfg
freezer
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Hallo,
die Rechnungen kannst Du in weiten Teile inzwischen nachlesen.
Von der Existenz der Additionstheoreme solltest Du als Maschbaustudent schon wissen, auswendig kann ich sie bis heute nicht, aber mein Bronstein schlägt sich u.a. hier von selbst auf.
Ob es noch andere Möglichkeiten zur Berechnung gibt?
Keine Ahnung.
In welchem Zusammenhang wurden die Aufgaben denn gestellt, was war in der Vorlesung gerade dran? Meist besteht da ja ein Zusammenhang...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Sa 21.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> > Man bestimme sämtliche reellen Lösungen der folgenden
> > Gleichungen:
> > (a) sin(2x) - cos(2x)=1
> > (b) 2 [mm]sin^2(x)-\wurzel{2}cos(x)=2[/mm]
> > (c) sin(2x) + 3 sin(x) - 2tan(x)=0
habe mich mal mit den o.g. aufgaben beschäftigt. ist das so korrekt?
a) sin(2x) - cos(2x) = 1
formel: sin(2x)=2sin(x)*cos(x) ; [mm] cos(2x)=cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)
[/mm]
2sin(x)*cos(x) - [mm] [cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)] [/mm] = 1
formel: [mm] sin^2(x) [/mm] = 1 - [mm] cos^2(x)
[/mm]
2sin(x)*cos(x) - [mm] [cos^2(x) [/mm] - (1 - [mm] cos^2(x))] [/mm] = 1
2sin(x)*cos(x) - [mm] [cos^2(x) [/mm] - 1 + [mm] cos^2(x)] [/mm] = 1
2sin(x)*cos(x) - [mm] [2cos^2(x) [/mm] - 1] = 1
2sin(x)*cos(x) - [mm] 2cos^2(x) [/mm] + 1 = 1
2sin(x)*cos(x) = 2 [mm] cos^2(x) [/mm]
sin(x) = cos(x)
=> x=45° v x=225°
b) [mm] 2sin^2(x) [/mm] - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=2
[/mm]
formel: [mm] sin^2(x)= \bruch{1}{2}(1- [/mm] cos(2x))
formel: cos(2x)= [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)
[/mm]
formel: [mm] sin^2(x)= [/mm] 1- [mm] cos^2(x)
[/mm]
[mm] 2*\bruch{1}{2}(1- [/mm] cos(2x)) - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=2
[/mm]
1- [mm] [cos^2(x) [/mm] - [mm] sin^2(x)] [/mm] - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=2
[/mm]
- [mm] [cos^2(x) [/mm] - (1 - [mm] cos^2(x))] [/mm] - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=1
[/mm]
- [mm] [cos^2(x) [/mm] - 1 + [mm] cos^2(x))] [/mm] - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=1
[/mm]
- [mm] 2cos^2(x) [/mm] +1 - [mm] \wurzel{2}*cos(x)=1
[/mm]
[mm] 2cos^2(x) [/mm] = - [mm] \wurzel{2}*cos(x)
[/mm]
cos(x)= - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
x=180°-45°=135° v x=180°-45°=225°
c) sin(2x) + 3sin(x) - 2tan(x)=0
formel: sin(2x)=2sin(x)*cos(x)
formel: tan(x)= [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
2sin(x)*cos(x) + 3sin(x) - [mm] 2*\bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
= 0
2cos(x) +3 - [mm] \bruch{2}{cos(x)} [/mm] = 0
[mm] 2cos^2(x) [/mm] + 3cos(x) -2=0
[mm] cos^2(x) [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}*cos(x) [/mm] -2=0
[cos(x) + [mm] \bruch{3}{4}]^2 [/mm] - [mm] (\bruch{3}{4})^2 [/mm] = 1
cos(x) + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \pm \bruch{5}{4}
[/mm]
cos(x)= [mm] \pm \bruch{1}{2} [/mm] bzw. x=60° v x=120°
danke.
gruss
wolfgang
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> > > (a) sin(2x) - cos(2x)=1
> a) sin(2x) - cos(2x) = 1
>...
> 2sin(x)*cos(x) = 2 [mm]cos^2(x)[/mm]
>
> sin(x) = cos(x)
>
> => x=45° v x=225°
Du hast hier einen (typischen) Fehler gemacht. Du darfst nicht einfach
2sin(x)*cos(x) = 2 [mm]cos^2(x)[/mm] sang- und klanglos durch cos(x) dividieren: cos(x) könnte =0 sein!!!
Richtig heißt es
2sin(x)*cos(x) = 2 [mm]cos^2(x)[/mm]
==> cos(x)=0 oder sin(x)=cos(x)
==> x=0° oder x=180° oder x=45° oder x=225°
(Falls die Lösungen auf ganz [mm] \IR [/mm] gefragt sind, muß man das zusätzlich berücksichtigen.)
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> > > (b) 2 [mm]sin^2(x)-\wurzel{2}cos(x)=2[/mm]
> b) [mm]2sin^2(x)[/mm] - [mm]\wurzel{2}*cos(x)=2[/mm]
>...
>
> [mm]2cos^2(x)[/mm] = - [mm]\wurzel{2}*cos(x)[/mm]
>
> cos(x)= - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
oder cos(x)=0 (wie in a.)
>
> x=180°-45°=135° v x=180°-45°=225°
und zusätzlich auch noch ...
Gruß v. Angela
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> > > (c) sin(2x) + 3 sin(x) - 2tan(x)=0
Hier ist es günstig, wenn man sich zunächst Klarheit über den Definitionsbereich verschafft, es ist ja tan(x) für cos(x)=0, also x=90°,270° nicht definiert, was man im Hintekopf haben muß, falls man einen dieser Werte als mögliche Lösung erhält.
> c) sin(2x) + 3sin(x) - 2tan(x)=0
>...
> 2sin(x)*cos(x) + 3sin(x) - $ [mm] 2\cdot{}\bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] $= 0
> 2cos(x) +3 - [mm]\bruch{2}{cos(x)}[/mm] = 0
oder sin(x)=0 (wie in a.)
> [mm]2cos^2(x)[/mm] + 3cos(x) -2=0
> ...
> cos(x) + [mm]\bruch{3}{4}[/mm] = [mm]\pm \bruch{5}{4}[/mm]
==> cos(x) = [mm]\pm \bruch{5}{4}[/mm] - [mm]\bruch{3}{4}[/mm] oder (von oben) sinx=0
==> [mm] cos(x)=\bruch{1}{2} [/mm] oder cos x=-2 oder sin(x)=0
==> ...
Gruß v. Angela
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