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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen c sind die zueinander parallelen Geraden [mm] g_c : y = - \bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}c [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten des Kreises [mm] x^2 + y^2 = 5? [/mm] |
Hallo an alle Mitglieder im Forum!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Auflösen der Geradengleichung nach x und Einsetzen in die Kreisgleichung:
[mm] (-2y -c)^2 + y^2 = 5 [/mm]
[mm] 4y^2 + 4cy + c^2 + y^2 = 5 [/mm]
[mm] 5y^2 + 4cy + c^2 -5 = 0 [/mm]
Einsetzen in die abc-Formel :
[mm] y _1/_2 = \bruch{ -4c \pm \wurzel{\left( 4c \right)^2 - \left[ 4 * 5 * \left( c^2 -5 } \right) \right]} {10} [/mm]
[mm] y _1/_2 = \bruch{ -4c \pm \wurzel{16c^2 - \left[20 * \left( c^2 -5 } \right) \right]} {10} [/mm]
[mm] y _1/_2 = \bruch{ -4c \pm \wurzel{16c^2 - 20c^2 + 100}} {10} [/mm]
[mm] y _1/_2 = \bruch{ -4c \pm \wurzel{-4c^2 + 100}} {10} [/mm]
Als Lösung kommt aber laut Lösungsbuch raus:
[mm] y = \bruch{ -4c + \wurzel{ 100 -4c^2}} {10} [/mm] oder [mm] y = \bruch{ -4c - \wurzel{ 100 -4c^2}} {10} [/mm]
Warum sind die Zahlen der Diskriminante aber nun in anderer Reihenfolge?
Im Lösungbuch steht weiter:
In Abhängigkeit der Diskriminante [mm]100 -4c^2 [/mm] erhält man:
Für [mm] \left| c \right| [/mm] < 5 ist die zugehörige Gerade eine Sekante,
für c = 5 oder c = -5 jeweils eine Tangente
und für [mm] \left| c \right| [/mm] > 5 eine Passante.
Wie kommt man für c auf eine 5 und wie lassen sich die Sekanten, Tangenten und Passanten der zugehörigen Geraden erklären.
Ich danke schon Mal im Vorraus für die Beantwortung dieser Frage.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mi 25.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo matherein,
> [mm]y _1/_2 = \bruch{ -4c \pm \wurzel{-4c^2 + 100}} {10}[/mm]
>
> Als Lösung kommt aber laut Lösungsbuch raus:
>
> [mm]y = \bruch{ -4c + \wurzel{ 100 -4c^2}} {10}[/mm] oder [mm]y = \bruch{ -4c - \wurzel{ 100 -4c^2}} {10}[/mm]
>
> Warum sind die Zahlen der Diskriminante aber nun in anderer
> Reihenfolge?
Möglicherweise schlicht aus "ästhetischen" Gründen. Die positive Zahl nach vorn. Oder so.
> Wie kommt man für c auf eine 5 und wie lassen sich die
> Sekanten, Tangenten und Passanten der zugehörigen Geraden
> erklären.
Was wird durch das Einsetzen der Geradengleichung bezweckt?
Es werden die gemeinsamen Punkte von Gerade und Kreis gesucht. Bzw. bei Deinem Ansatz zunächst deren y-Koordinaten.
Die sind oben bestimmt.
Nun kann es ja sein, dass es zwei gemeinsame Punkte gibt (Sekante), genau einen (Tangente) oder keinen (Passante). Und das zeigt uns die Diskriminante (die "Unterscheidende").
Wenn es für y keine Lösung gibt, also wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es also keinen Schnittpunkt. etc.
Du musst also untersuchen, wann der Ausdruck unter der Wurzel gleich null wird, wann größer, wann kleiner.
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Do 26.06.2008 | | Autor: | matherein |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort ardik!
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