Kreisbewegung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 05.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | Für eine Bahnbewegung gelte: v(t) = w(t) x r(t). Zeigen Sie:
Für die [mm] w_{\perp}-Komponente [/mm] senkrecht zu r(t) gilt
v(t) = w(t) x r(t) = [mm] w_{\perp} [/mm] x r(t) |
Ich kann mit dieser Aufgabe überhaupt nichts anfangen, außer, dass ich weiß, dass die winkelgeschwindigkeit immer senkrecht zum Ort und der Geschwindigkeit steht...
Hat jemand einen Hinweis für mich?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Fr 05.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für eine Bahnbewegung gelte: v(t) = w(t) x r(t). Zeigen
> Sie:
>
> Für die [mm]w_{\perp}-Komponente[/mm] senkrecht zu r(t) gilt
> v(t) = w(t) x r(t) = [mm]w_{\perp}[/mm] x r(t)
> Ich kann mit dieser Aufgabe überhaupt nichts anfangen,
> außer, dass ich weiß, dass die winkelgeschwindigkeit
> immer senkrecht zum Ort und der Geschwindigkeit steht...
Nein, so allgemein stimmt das nicht. Du denkst an eine Kreisbewegung.
Wenn du [mm] $\vec\omega [/mm] $ in zwei zueinander senkrechte Vektoren zerlegt, nämlich [mm] $\vec\omega_{\perp}$ [/mm] senkrecht zu [mm] $\vec [/mm] r$ und [mm] $\vec\omega_{\parallel} [/mm] $ parallel oder antiparallel zu [mm] $\vec [/mm] r$:
[mm] $\vec\omega [/mm] = [mm] \vec\omega_{\perp} [/mm] + [mm] \vec\omega_{\parallel} [/mm] $ ,
was folgt dann für [mm] $\vec\omega\times\vec [/mm] r$ ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 07.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
sry, ich kann mit deiner hilfestellung nichts anfangen... vllt ist mir die bedeutung des kreuzprodukts in dem fall nicht ganz klar? das kreuzprodukt hat ja einzig und allein die eigenschaft einen senkrechten vektor zu liefern, oder?
Wieso genau ist die winkelgeschwindigkeit eigentlich senkrecht zu auf dem kreis??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 07.11.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Hilfestellung von Rainer sagt dir doch, was du dir anschauen solltest.
Also:
Nehme dir einen Vektor [mm]\vec{\omega}[/mm] her und einen Vektor [mm]\vec{r}[/mm].
Jetzt soll gelten:
[mm]\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}[/mm]
Und jetzt sollst du zeigen, dass
[mm]\vec{v} = \vec{\omega}_\perp \times \vec{r}[/mm]
gilt, wobei
[mm]\vec{\omega}_\perp \perp \vec{r}[/mm]
ist.
In Worten:
Nehme dir den Vektor [mm]\vec{\omega}[/mm] her, und zerlege den in einen Anteil, der senkrecht auf [mm]\vec{r}[/mm] steht und einen, der parallel zu [mm]\vec{r}[/mm] steht. Dann kannst du diesen Vektor zerlegen in die Summe dieser beiden Vektoren:
[mm]\vec{\omega} = \vec{\omega}_\parallel + \vec{\omega}_\perp[/mm]
Dann kannst du das ja wieder in die Formel fuer [mm] $\vec{v}$ [/mm] einsetzen. Dann musst du nur noch wissen, was passiert, wenn man das Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet, die parallel zueinander stehen (Wenn du das nicht weist, dann nimm dir mal einen allgemeinen Vektor [mm] $\vec{r} [/mm] = [mm] \pmat{x\\y\\z}$ [/mm] her, und berechne das Kreuzprodukt des Vektors mit sich selbst).
Dann wirst du sehen, warum die Aussage stimmt.
Wenn du dir jetzt eine Kreisbewegung vorstellst, dann weist du ja, dass durch den 'Kreis', den deine Masse beschreibt, in einer Ebene liegt. Um jetzt die Lage der Ebene im Raum anzugeben, kann man eben einen Normalenvektor auf dieser Ebene definieren, den wir einfach mal [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] nennen (das ist an sich genau das selbe, was man mit der Normalenform fuer eine Ebene macht, wo man die Ebene durch einen Punkt, der in der Ebene liegt und einen Normalenvektor beschreibt).
Wenn wir jetzt also diesen Vektor [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] kennen, dann wissen wir schonmal die Orientierung der Kreisbewegung im Raum.
Wenn wir jetzt noch [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \vec{\omega} \times \vec{r}$ [/mm]
anschauen, und wissen, dass [mm] $\vec{\omega}\perp \vec{r}$ [/mm] , dann koennen wir sagen, dass
[mm] $|\vec{v}| [/mm] = [mm] |\vec{\omega} \times \vec{r}| [/mm] = [mm] \omega [/mm] r$
gilt, wobei [mm] $\omega$ [/mm] und $r$ die Betraege der Vektoren sind. Und das ist ja die Formel, die man noch aus der Schule kennt.
D.h. der Winkelgeschwindigkeitsvektor [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] steht senkrecht auf der Bewegungsebene der Kreisbewegung und ist betragsmaessig gleich der Winkelgeschwindigkeit [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{T}$.
[/mm]
Der Grund, warum man dann [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] senkrecht auf der Kreisbewegungsebene waehlt ist der, dass man dann [mm] $|\vec{\omega}| [/mm] = [mm] \omega$ [/mm] waehlen kann, und man damit dann auch die Drehebene direkt festgelegt hat.
LG
Kroni
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