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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mo 30.05.2005 | | Autor: | dtm |
Hi,
wer kann mir bei der folgenden Aufgabe helfen:
"Gegeben ist ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M(0|0) und dem Radius r sowie eine Gerade g durch die Gleichung g:y=-x+2.
Bestimme den Radius r des Kreises k so, dass die Gerade g Tangente an den Kreis k wird."
Bis jetzt habe ich folgenden Lösungsansatz gefunden:
g:y=-x+2
k:x²+y²=r²
[mm] k:y=\wurzel{r²-x²}
[/mm]
Gleichsetzen: [mm] -x+2=\wurzel{r²-x²}
[/mm]
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar. Die Lösung [mm] r=\wurzel{2} [/mm] wurde mir mitgeteilt, jedoch habe ich Probleme beim Rechnenweg,
Schon einmal vielen Dank an euch.
ciau
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dtm,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Aus der Geometrie solltest Du vielleicht noch wissen, daß der Radius immer senkrecht auf die jeweilige Tangente steht.
Das heißt die Gerade [mm] $\overline{MB} [/mm] \ = \ [mm] g_{MB} [/mm] \ = \ [mm] g_r$, [/mm] die durch den Mittelpunkt M(0;0) und den zu ermittelnden Berührpunkt [mm] $B\left(x_B; y_B\right)$ [/mm] verläuft, hat die Form:
[mm] $g_{MB} [/mm] \ = \ [mm] g_r [/mm] \ = \ [mm] m_r [/mm] * x$ (Ursprungsgerade, da Mittelpunkt im Ursprung)
Da [mm] $g_r$ [/mm] und gegebene Gerade (= Tangente) [mm] $g_t [/mm] \ = \ -x+2$ senkrecht aufeinander stehen sollen, gilt also:
[mm] $m_r [/mm] * [mm] m_t [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\gdw$ $m_r [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{m_t} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] \ = \ 1$
Unsere Gerade [mm] $g_r$ [/mm] hat also die Funktionsvorschrift:
[mm] $g_r [/mm] \ = \ 1*x \ = \ x$
Wenn wir nun die beiden Geradengleichungen gleichsetzen, erhalten wir zunächst den x-Wert des Berührpunktes [mm] $x_B$ [/mm] und daraus dann auch die y-Koordinate [mm] $y_B$.
[/mm]
[mm] $g_r [/mm] \ [mm] \cap [/mm] \ [mm] g_t$ $\gdw$ $x_B [/mm] \ = \ [mm] -x_B [/mm] + 2$ [mm] $\gdw$ $x_B [/mm] \ = \ ...$
Mit diesen beiden Werten [mm] $x_B$ [/mm] und [mm] $y_B$ [/mm] sollte die Ermittlung des entsprechenden Radius' ja kein größeres Problem mehr darstellen, oder?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 31.05.2005 | | Autor: | dtm |
Hi,
vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort.
Ich weiß auch nicht, warum ich nicht darauf gekommen bin,
dass mit der Normalen zu berechnen.
Jetzt ist Alles klar.
ciau
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