Kreis und Flächeninhalt < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Tag,
neulich stieß ich beim Thema Kreis und Flächeninhalt auf eine interessante Aufgabe:
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks in Abhängigkeit von a!
Ich hab einfach mal eine Skizze am PC erstellt: http://crs-abi-2006.de/multi/zwei_linsen.jpg
Mein Ansatz:
Alle vier Viertelkreise haben auch den Radius a.
Will man die Fläche einer "Linse" berrechnen, so rechnet man erstmal die Fläche des Quadrats aus: A_Quadrat = [mm] a^2
[/mm]
Anschließend berechnet man die Fläche eines Viertelkreises: A_Viertelkreis = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] a^2
[/mm]
Damit ist die dreieckige Fläche: A_Dreieck = A_Quadrat - A_Viertelkreis
Zieht man jetzt die dreieckige Fläche von der Gesamtfläche ab, so hat man eine der beiden Linsen: A_Linse = A_Quadrat - 2 * A_Dreieck
Problem:
Wie finde ich jetzt heraus, wie groß die Schnittfläche der beiden "Linsen" ist? Hab auch schon an daran gedacht, ein Teil des Viertelkreises zu integrieren, aber das ist ja nicht Thema der 10. Klasse. Danke schonmal im Vorraus für Anregungen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Di 19.09.2006 | | Autor: | riwe |
das geht ganz ohne integral, wenn es das ist , was du suchst, also das gelbe quadrat + 4 kreissegmente, womit eigentlich die aufgabe schon gelöst ist.
den schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] bekommst du mit hilfe der 2 kreisgleichungen
[mm] x^{2}+y^{2}=a^{2}, (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} [/mm] zu [mm] S_1(\frac{a}{2}/\frac{a\sqrt{2}}{2}), S_2 [/mm] hat aus symmetriegründen vertauschte koordinaten.
damit bekommst du den öffnungswinkel des segments zu [mm] \alpha [/mm] = 19.4712° und die länge der kleinen quadratseite s = [mm] \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.
[/mm]
und damit kannst du nun A berechnen.
[mm] A=(\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}+0.0130)a^{2}
[/mm]
wenn es wahr ist
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
