Kreis berührt Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 So 22.11.2009 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | In der euklidischen Ebene [mm] R^2 [/mm] mit den Koordinaten x,y sei ein Dreieck PQR gegeben durch seine Ecken P(0,0), Q(1,0), R(0,1).
zeigen sie: Der Kreis K mit Mittelpunkt (-1/2, 1/2) und Radius (1/2)(wurzel2) geht durch P und berührt die durch die Dreiecksseite QR definierte Gerade in R. |
So :) Hallo erstmal!
(((i) dass P auf der äußeren Kreislinie liegt, habe ich mittels Abstand zum Mittelpunkt schon gezeigt.)))
ii) Die Dreiecksseite QR wird im Punkt R vom Kreis berührt:
1. ich habe mir die geradengleichung aufgestellt:
g: x= Q+ lambda(R-Q)
2. stelle ein gleichungssystem auf und bekomme für x1= 1- lambda und für x2= lambda
3. Ich nehme die Kreisformel (in Koordinatenform) und setze x1, x2 und die werte für Mittelpunkt (m1, m2) und Radius (1/2)(wurzel2)
-> (1-lambda [mm] +(1/2))^2 [/mm] +(lambda- [mm] (1/2))^2= [/mm] 1/2
aufgelöst komme ich auf: [mm] lambda^2 [/mm] - 3lambda + 2= 0
NUN (sollte ich bis hier her richtig liegen...) heißt das doch, dass ich mit dem Satz von Vieta (=Mitternachtsformel) die Werte für Lambda berechnen kann, oder???
ich bekomme für lambda =2 und =1... diese werte in die geradengleichung eingesetzt liefern mir 2 (!!!!!!!) Punkte.
somit heißt das doch dass die Gerade den Kreis nicht berührt sindern schneidet, nicht?!?!?!!!
Vielen Dank schon mal an alle die sich die Mühe machen und versuchen mir auf die sprünge zu helfen^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo suxul, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hier ein paar kurze Reaktionen:
> In der euklidischen Ebene [mm]R^2[/mm] mit den Koordinaten x,y sei
> ein Dreieck PQR gegeben durch seine Ecken P(0,0), Q(1,0),
> R(0,1).
> zeigen sie: Der Kreis K mit Mittelpunkt (-1/2, 1/2) und
> Radius (1/2)(wurzel2) geht durch P und berührt die durch
> die Dreiecksseite QR definierte Gerade in R.
> So :) Hallo erstmal!
>
> (((i) dass P auf der äußeren Kreislinie liegt, habe ich
> mittels Abstand zum Mittelpunkt schon gezeigt.)))
Jau, klar.
> ii) Die Dreiecksseite QR wird im Punkt R vom Kreis
> berührt:
>
> 1. ich habe mir die geradengleichung aufgestellt:
> g: x= Q+ lambda(R-Q)
also y=1-x oder g: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\0}+\lambda\vektor{-1\\1}
[/mm]
> 2. stelle ein gleichungssystem auf und bekomme für x1= 1-
> lambda und für x2= lambda
Genau. Siehe oben.
> 3. Ich nehme die Kreisformel (in Koordinatenform) und setze
> x1, x2 und die werte für Mittelpunkt (m1, m2) und Radius
> (1/2)(wurzel2)
> -> (1-lambda [mm]+(1/2))^2[/mm] +(lambda- [mm](1/2))^2=[/mm] 1/2
Sieht gut aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> aufgelöst komme ich auf: [mm]lambda^2[/mm] - 3lambda + 2= 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Tja, ab hier dann weiter, sobald es stimmt. Rechne nochmal nach.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Mo 23.11.2009 | | Autor: | suxul |
> > -> (1-lambda [mm]+(1/2))^2[/mm] +(lambda- [mm](1/2))^2=[/mm] 1/2
>
> Sieht gut aus.
....
ok dann nochmal:
((3/2)- [mm] lambda)^2 [/mm] + (lambda [mm] -(1/2))^2= [/mm] (1/2)
[mm] (3/2)^2 [/mm] -2(3/2) lambda + [mm] lambda^2 +lambda^2- [/mm] lambda+ (1/4)= (1/2)
(9/4) - 3 lamda + [mm] lambda^2 [/mm] + [mm] lambda^2 [/mm] - lambda + (1/4) =(1/2)
[mm] 2(lambda^2) [/mm] - 4 lambda + (10/4)= (1/2)
[mm] lambda^2 [/mm] - 2 lambda + (5/4) = (1/2)
[mm] lambda^2 [/mm] - 2 lambda + (3/4)= 0
sag mal... hab ich mich wieder verrechnet?!?!
bitte sag mir wo der rechenfehler liegt... bzw ob man hier auf eine eindeutige lösung für lambda kommen kann! büüüüüüüütte!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mo 23.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und
> [...]
> -> MOMENT MAL! ... wie schön es einfach nur aufgeht^^ :
> [mm]lambda^2[/mm] -2lambda + (5/4) =(1/4)
> [mm]lambda^2-[/mm] 2lambda +1= 0-------> (2 +- (wurzel 4-4))/2
> -----> lambda = 1
> ab in die geradengleichung damit und schwubs die wubs! es
> kommt R raus :)
> -> K berührt g in R
Das musst du aber noch etwas ausführlicher begründen. Welche Tatsache sagt dir, dass der Kreis K die Gerade g im Punkt R berührt, und nicht schneidet.
>
> DAKE für die antworten zu so später stunde :)
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 23.11.2009 | | Autor: | suxul |
meine x-werte (die mit lambda ausgedrückt werden), die ich aus der Geradengleichung erhalten habe, ergeben für den Parameter Lambda in der Kreisgleichung nur einen Wert.
-> K berührt die gerade
das Lambda in die Geradengleichung eingesetzt, zeigt mir den Punkt in dem sich K und g berühren.
----> dieser Punkt ist eben genau R= (0,1)
(danke dass du mich darauf aufmerksam machst... ich bekomme immer punkte in den übungsblättern abgezogen weil ich zu wenig dazuschreibe... ärgerlich... mein lieblingswort ist "trivial" ;) ^^)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | suxul |
ja ähm ich denke damit ist das hier erstmal erledigt :)
--->
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 23.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst es dir auch einfacher machen, da es nur eine Lösung für [mm] \lambda [/mm] gibt, ist R der einzige Schnittpunkt des Kreises mit der Gerade, also ein Berührpunkt.
Marius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]"){kind=small}
