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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Ares1982 |
Hi@all,
bin gerade an meiner nächsten Aufgabe und bin da schon weiter als bei meiner ersten gestellt Frage. Stelle die Aufgabe mal kurz vor:
Sie würfeln N-mal mit einem fairen Würfel. Bei einer "6" erhalten Sie 10 Euro bei "5" 2 Euro und bei "4" ! Euro. Dagegen müssen Sie bei einer "1" 10 Euro zahlen, bei "2" 2 Euro und bei "3" 1 Euro. Xi sei ihr Gewinn oder Verlust beim i-ten Wurf. Zeigen Sie, dass Ihr Gesamtgewinn X= [mm] \summe [/mm] Xi und die Zufallsvariable Y= [mm] \summe [/mm] Xi² unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.
So, das sie nicht unkorreliert muss ja gelten COV(X,Y)=EXY-E(X)*E(Y)=0
Für den Gesamtgewinn gilt:
E(X)= [mm] (10*1/6)^n+(2*1/6)^n+(1*1/6)^n-(10*1/6)^n-(2*1/6)^n-(1*1/6)^n
[/mm]
= 0
wo ich jetzt nicht weiterkomme ist, dass ich nicht weiß was Y ist. Wie bekomme ich das raus! Ich hoffe , dass mein rechenweg bis jetzt richtig ist. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Bis denn!!!
Ares
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Hallo Ares!
> Sie würfeln N-mal mit einem fairen Würfel. Bei einer "6"
> erhalten Sie 10 Euro bei "5" 2 Euro und bei "4" ! Euro.
> Dagegen müssen Sie bei einer "1" 10 Euro zahlen, bei "2" 2
> Euro und bei "3" 1 Euro. Xi sei ihr Gewinn oder Verlust
> beim i-ten Wurf. Zeigen Sie, dass Ihr Gesamtgewinn X=
> [mm]\summe[/mm] Xi und die Zufallsvariable Y= [mm]\summe[/mm] Xi²
> unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.
>
>
> So, das sie nicht unkorreliert muss ja gelten
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Aber Du sollst doch gerade zeigen, dass sie unkorreliert sind! Genau das:
> COV(X,Y)=EXY-E(X)*E(Y)=0
> Für den Gesamtgewinn gilt:
>
> E(X)=
> [mm](10*1/6)^n+(2*1/6)^n+(1*1/6)^n-(10*1/6)^n-(2*1/6)^n-(1*1/6)^n
[/mm]
> = 0
Das Ergebnis ist richtig, aber die Rechnung leider falsch. Wie kommst Du darauf? Hier sollte man zunächst mal [mm] $E(X_i)$ [/mm] ausrechnen (für ein bestimmtes $i$). Dafür erhält man [mm] $E(X_i)=0$ [/mm] mit einer ähnlichen Rechnung wie bei Dir - Du musst nur jeweils [mm] $()^n$ [/mm] streichen. Damit ergibt sich
[mm] E(X)=E(\sum\limits_{i=1}^N X_i)=\sum\limits_{i=1}^N E(X_i)=\sum\limits_{i=1}^N 0=0.[/mm]
> wo ich jetzt nicht weiterkomme ist, dass ich nicht weiß was
> Y ist. Wie bekomme ich das raus! Ich hoffe , dass mein
Aber $Y$ ist doch oben definiert durch
[mm]Y=\sum\limits_{i=1}^N X_i^2.[/mm]
Geh genauso vor wie eben beschrieben, und Du kommst zum Ziel.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 14.12.2004 | | Autor: | Ares1982 |
Hi Brigitte,
ich schreibe mal meine antwort hin:
E(X)= [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] E( [mm] X_{i} [/mm] )=0
= [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] (10*1/6)+(2*1/6)+(1*1/6)-(10*1/6)-(2*1/6)- (1*1/6)=0
E(Y)= [mm] \summe_{i=1}^{N} X_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} (0)^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] COV(X,Y)=0
Ich weiß nicht, ob ich da noch nen Fehler drin habe.
Als nächstes soll man ja zeigen, dass es nicht unabhängig ist, aber ist es nichts so, dass wenn es unkorreliert ist auch unabhängig ist???
Ares
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Hallo Ares!
> E(X)= [mm]\summe_{i=1}^{N}[/mm] E( [mm]X_{i}[/mm] )=0
Wieso steht hier schon die Null? Ist wohl ein Tippfehler...
> = [mm]\summe_{i=1}^{N}[/mm]
> (10*1/6)+(2*1/6)+(1*1/6)-(10*1/6)-(2*1/6)-
> (1*1/6)=0
OK.
> E(Y)= [mm]\summe_{i=1}^{N} X_{i}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{N} (0)^2=0[/mm]
Nein. Es gilt für beliebiges $i$
[mm]E(X_i^2)=\frac{1}{3}\cdot 1+ \frac{1}{3}\cdot 4 +\frac{1}{3}\cdot 100=35.[/mm]
Denn [mm] $X_i^2$ [/mm] kann ja nur die Werte 1,4 und 100 annehmen, jeweils mit Wkt. [mm] $\frac{2}{6}$. [/mm] Damit folgt
[mm]E(Y)=\summe_{i=1}^{N} E(X_i^2)=35\cdot N.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] COV(X,Y)=0
Nein. Wie kommst Du darauf? Du musst doch erst noch $E(XY)$ berechnen? Da musst Du Dir schon noch ein paar Gedanken machen.
[mm]E(XY)=E\left(\left(\summe_{i=1}^{N} X_i\right)\cdot\left( \summe_{i=1}^{N} X_i^2\right)\right)[/mm]
Hinweis: Überlege Dir, wie die einzelnen Summanden aussehen, wenn Du die Klammern ausmultiplizierst, und denke daran, dass für [mm] $i\neq [/mm] j$ die Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j$ [/mm] unabhängig sind (und damit auch [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j^2$). [/mm] Für unabhängige Zufallsvariablen $X$ und $Y$ gilt ja $E(XY)=E(X)E(Y)$ und wegen [mm] $E(X_i)=0$ [/mm] fällt da ziemlich viel weg.
> Als nächstes soll man ja zeigen, dass es nicht unabhängig
> ist, aber ist es nichts so, dass wenn es unkorreliert ist
> auch unabhängig ist???
Nein. Es gilt nur die Umkehrung. Ein Gegenbeispiel wird ja gerade in dieser Aufgabe konstruiert. Betrachte doch mal die Wahrscheinlichkeit
[mm]P(X=10N,Y=N)[/mm]
Was müsste gelten, wenn $X$ und $Y$ unabhängig wären?
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Ares1982 |
Hi Brigitte,
für die Unabhangigkeit gilt ja:
E(X*Y) ungleich E(X)*E(Y)
aber ich habe nicht ganz verstanden, was du gemeint hast. Kannst du mir das nochmal anders erklären???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Ares!
> für die Unabhangigkeit gilt ja:
>
> E(X*Y) ungleich E(X)*E(Y)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt:
$E(X*Y) = E(X) * E(Y)$.
> aber ich habe nicht ganz verstanden, was du gemeint hast.
> Kannst du mir das nochmal anders erklären???
Brigitte meinte das folgende:
Du sollst ja
$E[XY] = [mm] E\left[ \sum\limits_{i=1}^n X_i \cdot \sum\limits_{i=1}^n X_i^2 \right] [/mm] = [mm] E\left[ \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n X_iX_j^2 \right] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n E\left[X_iX_j^2 \right]$
[/mm]
berechnen.
Da aber [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j^2$ [/mm] für $i [mm] \ne [/mm] j$ stoachstisch unabhängig sind, gilt:
[mm] $E\left[X_i X_j^2 \right] [/mm] = [mm] E\left[X_i \right] \cdot [/mm] E [mm] \left[X_j^2 \right] [/mm] = 0$ für $i [mm] \ne [/mm] j$,
wegen $E [mm] \left[ X_i \right]=0$.
[/mm]
Daher gilt:
$E[XY] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n E\left[X_iX_j^2 \right] [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n E\left[X_i^3 \right]$.
[/mm]
Und warum (Frage an dich) ist das jetzt gleich $0$?
Weiterhin musst du zeigen, dass $X$ und $Y$ nicht stochastisch unabhängig sind. Brigitte hat dir schon einen Tipp gegeben. Offenbar kann nicht zugleich $X$ gleich $10N$ und $Y$ gleich $N$ sein. (Warum nicht?) Daher gilt:
$P(X=10N, Y=N)=0$.
Wären $X$ und $Y$ unabhängig, so müsste dies gleich
$P(X=10N) [mm] \cdot [/mm] P(Y=N)$
sein, aber dies ist offenbar ungleich $0$.
Jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Julius
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