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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega', \wp(\Omega'),P') [/mm] ein diskreter W'raum und X,Y: [mm] \Omega' [/mm] -> [mm] \Omega [/mm] zwei unabhängige ZVn mit gleicher Verteilung [mm] P=P_X'=P'_Y. [/mm] Seien [mm] f,g:\Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] zwei ZVn mit
[mm] E_P[f], E_P[g], E_P[f^2], E_P[g^2] [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Zeige:
[mm] Cov_P(f,g) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} E_{P'}[(f(X)-f(Y))(g(X)-g(Y))] [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wenn ich anfange die rechte Seite auszumultiplizieren, dann bekomme ich:
(f(X) - f(Y))*(g(X) - g(Y))
= f(X)g(X) - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + f(Y)g(Y)
= [mm] E_P(fg) [/mm] - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + [mm] E_P(fg)
[/mm]
= [mm] 2E_P(fg) [/mm] - [mm] E_{P'}(f(X)g(Y)) [/mm] - [mm] E_{P'}(f(Y)g(X))
[/mm]
mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multipliziert:
[mm] E_P(fg) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}(f(X)g(Y)) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}(f(Y)g(X))
[/mm]
Jetzt verließen sie mich. Wie kann ich diesen Term denn weiter zusammenfassen?
Allgemein gilt ja:
cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))
Wie ändere ich denn diese allgemeine Variante ab, um sie für meine Aufgabe nutzen zu können?
Vielen Dank!
Janett
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> Sei [mm](\Omega', \wp(\Omega'),P')[/mm] ein diskreter W'raum und
> X,Y: [mm]\Omega'[/mm] -> [mm]\Omega[/mm] zwei unabhängige ZVn mit gleicher
> Verteilung [mm]P=P_X'=P'_Y.[/mm] Seien [mm]f,g:\Omega[/mm] -> [mm]\IR[/mm] zwei ZVn
> mit
> [mm]E_P[f], E_P[g], E_P[f^2], E_P[g^2][/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> Zeige:
> [mm]Cov_P(f,g)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} E_{P'}[(f(X)-f(Y))(g(X)-g(Y))][/mm]
> Hallo!
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Wenn ich anfange die rechte Seite auszumultiplizieren, dann
> bekomme ich:
>
> (f(X) - f(Y))*(g(X) - g(Y))
> = f(X)g(X) - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + f(Y)g(Y)
> = [mm]E_P(fg)[/mm] - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + [mm]E_P(fg)[/mm]
> = [mm]2E_P(fg)[/mm] - [mm]E_{P'}(f(X)g(Y))[/mm] - [mm]E_{P'}(f(Y)g(X))[/mm]
>
> mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] multipliziert:
>
> [mm]E_P(fg)[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}(f(X)g(Y))[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}(f(Y)g(X))[/mm]
>
> Jetzt verließen sie mich. Wie kann ich diesen Term denn
> weiter zusammenfassen?
Was Du gar nicht verwendet hast ist die Unabhängigkeit von $X$ und $Y$. In diesem Falle sind doch auch $f(X)$ und $g(Y)$ bzw. $f(Y)$ und $g(X)$ voneinander unabhängig (nicht aber $f(X)$ und $g(X)$ oder $f(Y)$ und $g(Y)$). Das heisst: Du kannst in diesen Fällen den Erwartungswert des Produktes, z.B. [mm] $E_{P'}[f(X)g(Y)]$, [/mm] zum Produkt der Erwartungswerte [mm] $E_{P'}[f(X)]\cdot E_{P'}[g(Y)]$ [/mm] umformen usw.
>
>
> Allgemein gilt ja:
> cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))
Richtig, oder eben [mm] $cov(f,g)=E[(f-E[f])(g-E[g])]=E[fg]-E[f]\cdot [/mm] E[g]$
>
> Wie ändere ich denn diese allgemeine Variante ab, um sie
> für meine Aufgabe nutzen zu können?
Du warst schon auf dem richtigen Weg, nur musst Du, wie gesagt, Unabhängigkeit verwenden, um gewisse Erwartungswerte von Produkten in Produkte von Erwartungswerten umformen zu können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Nette20 |
HI somebody.
Danke für Deinen Tip.
(f(X) - f(Y))*(g(X) - g(Y))
= f(X)g(X) - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + f(Y)g(Y)
= [mm] E_P[fg] [/mm] - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + [mm] E_P(fg)
[/mm]
= [mm] 2E_P[fg] [/mm] - [mm] E_{P'}[f(X)g(Y)] [/mm] - [mm] E_{P'}[f(Y)g(X)]
[/mm]
mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multipliziert:
[mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)g(Y)] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)g(X)] [/mm]
= [mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)]*E_{P'}[g(Y)] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)]*E_{P'}[g(X)]
[/mm]
= [mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g]
[/mm]
= [mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] E_P[f]*E_P[g]
[/mm]
= [mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] E_P[fg]
[/mm]
= 0
hmmm. Das ist ja offensichtlich falsch.
Danke für Eure Tipps.
***edit***
Ahhhh. Habe meinen Fehler selbst entdeckt.
Ich kann [mm] E_P[f]*E_P[g] [/mm] nicht zu [mm] E_P[fg] [/mm] zusammenfassen.
...
= [mm] E_P[fg] [/mm] - [mm] E_P[f]*E_P[g]
[/mm]
= cov(f,g)
Richtig??
Janett
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> HI somebody.
> Danke für Deinen Tip.
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> (f(X) - f(Y))*(g(X) - g(Y))
> = f(X)g(X) - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + f(Y)g(Y)
> = [mm]E_P[fg][/mm] - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + [mm]E_P(fg)[/mm]
> = [mm]2E_P[fg][/mm] - [mm]E_{P'}[f(X)g(Y)][/mm] - [mm]E_{P'}[f(Y)g(X)][/mm]
>
> mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] multipliziert:
>
> [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)g(Y)][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)g(X)][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)]*E_{P'}[g(Y)][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)]*E_{P'}[g(X)][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]E_P[f]*E_P[g][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und wie ich geschrieben hatte ist dies gleich [mm] $\mathrm{cov}(f,g)$, [/mm] was zu zeigen war.
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]E_P[fg][/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Denn es ist in der Regel [mm] $E_P[f]\cdot E_P[g]\neq E_P[fg]$
[/mm]
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> HI somebody.
> Danke für Deinen Tip.
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> (f(X) - f(Y))*(g(X) - g(Y))
> = f(X)g(X) - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + f(Y)g(Y)
> = [mm]E_P[fg][/mm] - f(X)g(Y) - f(Y)g(X) + [mm]E_P(fg)[/mm]
> = [mm]2E_P[fg][/mm] - [mm]E_{P'}[f(X)g(Y)][/mm] - [mm]E_{P'}[f(Y)g(X)][/mm]
>
> mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] multipliziert:
>
> [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)g(Y)][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)g(X)][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(X)]*E_{P'}[g(Y)][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_{P'}[f(Y)]*E_{P'}[g(X)][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]\bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g][/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}E_P[f]*E_P[g][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]E_P[f]*E_P[g][/mm]
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]E_P[fg][/mm]
> = 0
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> hmmm. Das ist ja offensichtlich falsch.
>
> Danke für Eure Tipps.
>
> ***edit***
> Ahhhh. Habe meinen Fehler selbst entdeckt.
> Ich kann [mm]E_P[f]*E_P[g][/mm] nicht zu [mm]E_P[fg][/mm] zusammenfassen.
ja eben: Ich hatte geschrieben, dass aus der Unabhängigkeit von $X$ und $Y$ die Unabhängigkeit von $f(X)$ und $g(Y)$ folge und daher [mm] $E[f(X)\cdot g(Y)]=E[f(X)]\cdot E[g(Y)]=E[f]\cdot [/mm] E[g]$ gelte.
Aber Du kannst nicht annehmen, dass $f(X)$ und $g(X)$ unabhängig sind. Daher darfst Du auch nicht annehmen, dass [mm] $E[f\cdot g]=E[f(X)\cdot g(X)]\overset{?!}{=}E[f(X)]\cdot E[g(X)]=E[f]\cdot [/mm] E[g]$ gilt. Aus diesem Grund war der letzte Schritt, der Dich dann zu $=0$ geführt hat, unzulässig.
> ...
> = [mm]E_P[fg][/mm] - [mm]E_P[f]*E_P[g][/mm]
> = cov(f,g)
>
> Richtig??
ja, meiner unmassgeblichen Meinung nach schon. Aber das Wichtigste ist, dass Du selbst davon überzeugt bist 
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