Kov zw. Mittelw. und Var. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 20.03.2006 | | Autor: | ivo82 |
| Aufgabe | Stelle KOV( [mm] \overline{X}, S^{2}) [/mm] mit Hilfe der Momente dar!
Wann ist diese 0? |
Angenommen [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] sei eine Zufallsstichprobe und es existieren die ersten vier Momente der [mm] X_{i} [/mm] ´s dann ist die Kovarianz zwischen dem Stichprobenmittelwert [mm] (\overline{X}) [/mm] und der Stichprobenvarianz [mm] (S^{2}) [/mm] zu berechnen.
Ich hab da zunächst diesen Ansatz:
[mm] E[(\overline{X}-E(\overline{X}))*(S^{2}-E(S^{2}))]
[/mm]
Für [mm] S^{2} [/mm] hab ich [mm] \bruch{1}{n-1}*([ \summe_{i=1}^{n}X_{i}^{2}]-n*\overline{X}^{2}) [/mm] eingesetzt.
Für [mm] E(S^{2}) [/mm] hab ich folgende Formel aus der Vorlesung verwendet:
[mm] \bruch{n}{n-1}*[E(X_{i}^2)-E(\overline{X})^2].
[/mm]
[mm] E(\overline{X}) [/mm] hab ich einfach gelassen.
Nach langem Rechnen bin ich dann auf folgendes Resultat gekommen:
[mm] \bruch{n}{n-1}*[\overline{X}*E(\overline{X})^{2}-\overline{X}^{3}-E(\overline{X})^{3}+\overline{X}^2*E(\overline{X})]
[/mm]
Nullsetzen brachte mich schließlich auf:
[mm] \overline{X}=-E(\overline{X}) [/mm]
als Bednigung für eine Kovarianz von 0, irgendwo hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen ich neheme an [mm] \overline{X}=E(\overline{X}) [/mm] macht mehr Sinn, d.h. wenn der Stichprobenmittelwert exakt dem Mittelwert in der Grundgesamtheit entspricht ist die Kovarianz 0.
Stimmt das oder bin ich völlig auf dem Holzweg, bzw. wie kann ich das Ergebnis weiter oben in Form von Momenten anschreiben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Mi 22.03.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich bekomme da raus, dass
Cov( [mm] \overline{X},S^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{2n}{n-1} E(\overline{X})^{3}
[/mm]
ist.
Und das ist genau dann gleich 0, wenn
[mm] E(\overline{X}) [/mm] = 0
gilt.
Es kommt mir auch komisch vor, dass in Deinem Ergebnis noch [mm] \overline{X} [/mm] vorkommt, denn Du nimmst ja den Erwartungswert des Ganzen...
Beste Grüße,
Matthias.
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