Korrelationskoeffizient < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 29.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit [mm] 0
Zeigen Sie:
(i) [mm] -1\le\varrho(X,Y)\le1
[/mm]
(ii) [mm] |\varrho(X,Y)|=1 \Leftrightarrow [/mm] Es gibt ein [mm] a\in \IR\setminus\{0\} [/mm] und ein [mm] b\in \IR [/mm] mit P(Y=aX+b)=1 |
Tag Leute,
also ich schreib mal auf wie ich mir des gedacht hab, wobei die Lösung zugegebenermaßen nich ganz auf meinem Mist gewachsen ist.
zu(i):
Wir zeigen: [mm] E(XY)²\le [/mm] E(X²)E(Y²).
Für [mm] \lambda\in \IR [/mm] betrachte
[mm] f(\lambda):= E((X+\lambda*Y)²)=E(X²)+2\lambda*E(XY)+\lambda²E(Y²).
[/mm]
Wenn E(Y²)=0 ist, dann ist Y=0, und die Ungleichung gilt trivialerweise. Sonst sucht man die Minimalstelle der quadratischen Funktion f (durch Differenzieren und Null-Setzen) und findet sie bei [mm] \lambda_0=-\bruch{E(XY)}{E(Y²)}. [/mm] Der Wert [mm] f(\lambda) [/mm] ist als Erwartungswert
einer nichtnegativen Zufallsvariablen selbst nicht negativ, also gilt
[mm] 0\le f(\lambda_0)= E(X²)-\bruch{2E(XY)²}{E(Y²)}+\bruch{E(XY)²}{E(Y²)} [/mm] = [mm] E(X²)-\bruch{E(XY )²}{E(Y²)}. [/mm] Daraus folgt:
[mm] E(XY)²\le [/mm] E(X²)E(Y²).
Damit lässt sich dann Zähler und Nenner des "Korrelationskoeffizienten" gegeneinander abschätzen und man ist fertig.
Ich kann den Beweis ganz gut nachvollziehen, aber würde gerne wissen warum man hier die Funktion f für ein [mm] \lambda [/mm] betrachtet, d.h. wie sieht denn die Idee dahinter aus?? Außerdem ist mir nicht ganz klar warum die Fallunterscheidung mit E(Y²) gemacht wird oder könnte man hier auch E(Y)bzw. E(X) nehmen? Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 30.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du betrachtest dass nur um zu zeigen, dass
> [mm]E(XY)² \le E(X²)E(Y²)[/mm]
>
> Damit lässt sich dann Zähler und Nenner des
> "Korrelationskoeffizienten" gegeneinander abschätzen und
> man ist fertig.
Aber natürlich nur wenn EX=EY=0 ist ...
> Ich kann den Beweis ganz gut nachvollziehen, aber würde
> gerne wissen warum man hier die Funktion f für ein [mm]\lambda[/mm]
> betrachtet, d.h. wie sieht denn die Idee dahinter aus??
> Außerdem ist mir nicht ganz klar warum die
> Fallunterscheidung mit E(Y²) gemacht wird oder könnte man
> hier auch E(Y)bzw. E(X) nehmen? Vielen Dank schon mal.
man quadriert eben den Bruch und zeigt dass
[mm] (Cov(X,Y))^2 \le [/mm] V(X)V(Y)
woraus dann folgt dass
| Cov (X,Y) | [mm] \le [/mm] Str(X)Str(Y)
ist.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 30.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
"Aber natürlich nur wenn EX=EY=0 ist ... "
Was genau meinst du damit? Wär toll, wenn du das näher erläutern könntest. Was passiert denn, wenn [mm] E(Y)\not=0 [/mm] oder [mm] E(X)\not=0 [/mm] ?
Besten Dank schon mal.
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> "Aber natürlich nur wenn EX=EY=0 ist ... "
>
Hallo,
Wenn E(X), E(Y)=0, dann ist X = Y = 0 P-f.ü. und damit ist X*Y = 0 P-f.ü., also E(X*Y) = 0. Die Ungleichung ist also mit Gleichheit erfüllt.
Wenn E(X), E(Y) [mm] \not= [/mm] 0, dann ist X, Y [mm] \not= [/mm] 0 und du musst die Ungleichung beweisen. Das kannst du wie in deinem ersten Post angegeben machen oder anders (wenn dich andere Wege interessieren, dann schau mal z.B. in ein Buch zur Maß-und Integrationstheorie: Da wird die sog. Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Integrale bewiesen).
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 01.07.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sehr gut dann wär das geklärt vielen Dank.
Könnte mir jetz noch einer erkären warum bei meinem Beweis die Fallunterscheidung für Y gemacht wird, also E(Y)=0 und dann [mm] E(Y)\not=0. [/mm] Könnte ich das genau so gut mit X statt Y machen oder funktioniert das nicht? Wenn ja warum nicht? Besten Dank schon mal.
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Hallo,
naja, weil man in dem Beweis selbst durch [mm] E(Y^2) [/mm] teilt und das ist nun mal nicht definiert. Deshalb muss man den Fall vorher ausschließen. Deshalb dann das Argument Y = 0 und dann die UNgleichung ist trivialweise erfüllt (vgl. auch meinen Post vorher).
Grüße, Steffen
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | vivo |
> Hallo,
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> Wenn E(X), E(Y)=0, dann ist X = Y = 0 P-f.ü. und damit ist
> X*Y = 0 P-f.ü., also E(X*Y) = 0. Die Ungleichung ist also
> mit Gleichheit erfüllt.
dass stimmt doch nicht:
betrachte Münzwurf:
[mm]\Omega=\{0,1\}[/mm]
und
[mm]X(\omega)=-1+2\omega[/mm]
dann ist die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,5 entweder -1 oder 1, also:
[mm]E(X)=-1*0,5+1*0,5=0[/mm]
die ist keineswegs P.f.s 0
oder betrachte standartisierte Zufallsvariablen
[mm]X=\bruch{Y-E(Y)}{V(Y)}[/mm] die haben auch Erwartunswert von 0
gruß
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:54 Mi 01.07.2009 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ja stimmt, der Satz gilt nur für positive, messbare Funktionen. Da war ich zu schnell.
Sorry, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 01.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit
> [mm]0
> [mm]\varrho(X,Y):=\bruch{Cov(X,Y)}{\wurzel{Var(X)*Var(Y)}}[/mm] der
> Korrelationskoeffizient von X und Y.
>
> Zeigen Sie:
>
> (i) [mm]-1\le\varrho(X,Y)\le1[/mm]
>
wir brauchen:
[mm]| Cov(X,Y) | \le \wurzel{Var(X)Var(Y)}[/mm]
wir betrachten:
[mm](Cov(X,Y))^2 \le Var(X)Var(Y)[/mm]
woraus ersteres ja folgt! Nehmen wir weiter an, E(X)=E(Y)=0 dann lautet dann sieht dies wie folgt aus:
[mm]E(XY)^2 \le E(X^2)E(Y^2)[/mm]
und dass hast du gezeigt! Die Fallunterscheidung die du meinst bezieht sich nur auf den Beweis davon!
> Wir zeigen: [mm]E(XY)²\le[/mm] E(X²)E(Y²).
> Für [mm]\lambda\in \IR[/mm] betrachte
> [mm]f(\lambda):= E((X+\lambda*Y)²)=E(X²)+2\lambda*E(XY)+\lambda²E(Y²).[/mm]
>
> Wenn E(Y²)=0 ist, dann ist Y=0, und die Ungleichung gilt
> trivialerweise. Sonst sucht man die Minimalstelle der
> quadratischen Funktion f (durch Differenzieren und
> Null-Setzen) und findet sie bei
> [mm]\lambda_0=-\bruch{E(XY)}{E(Y²)}.[/mm] Der Wert [mm]f(\lambda)[/mm] ist
> als Erwartungswert
> einer nichtnegativen Zufallsvariablen selbst nicht
> negativ, also gilt
> [mm]0\le f(\lambda_0)= E(X²)-\bruch{2E(XY)²}{E(Y²)}+\bruch{E(XY)²}{E(Y²)}[/mm]
> = [mm]E(X²)-\bruch{E(XY )²}{E(Y²)}.[/mm] Daraus folgt:
> [mm]E(XY)²\le[/mm] E(X²)E(Y²).
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 01.07.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut und für [mm] E(Y)\not=0, E(X)\not=0 [/mm] setze ich dann einfach zum Beispiel U:=X-E(X) und V:=Y-E(Y) und kann damit mit meinem Beweis auch wieder die Ungleichung zeigen oder?
Und noch kurze andere Frage: Warum kann ich aus E(Y²)=0 schließen, dass Y=0 ist? Vielen Dank schon mal, dass ihr euch die Zeit nehmt mir zu helfen.
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Hallo,
vivo hatte recht, meine Argumentation gilt nur für positive, messbare Funktionen. Das kann man aber hier anwenden:
[mm] E(Y^2) [/mm] = 0 --> [mm] Y^2 [/mm] = 0 (*)
--> Y = 0
--> E(Y) = 0
wobei (*), da [mm] Y^2 [/mm] positiv und messbar ist.
Sorry und Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | kegel53 |
Gut damit wäre dann alles klar! Hoff mal das bleibt auch so  .
Vielen Dank nochmal.
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