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Korrektur und Hilfe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mo 12.02.2007
Autor: Amy1988

Aufgabe
Führen Sie eine Kurvendiskussion durch

[mm] f(x)=-\bruch{2x}{t}*e^{t-x} [/mm]

Hallo ihr Lieben!!!

Ich habe schonmla hiermit angefangen. Wasmir Probleme breitet ist das VERHALTEN IM UNENDLICHEN UND DIE ASYMPTOTEN (falls es die gibt ?!)

Bisher habe ich folgendes:

(1) [mm] D=\IR [/mm]

(2)SYMMERTRIE
--> Keine Symmertrie vorhanden

(3)NULLSTELLEN f(x)=0
[mm] -\bruch{2x}{t}*e^{t-x}=0 [/mm]
[mm] -\bruch{2x}{t}=0 [/mm]  oder   [mm] e^{t-x}=0 [/mm]
x=0                      t-x=ln(0) -->nicht definiert
N(0;0)

(4)ABLEITUNGEN
[mm] f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1+x) [/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{t}*e^{t-x}*x [/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1-x) [/mm]

(5)EXTREMA f'(x)=0 und [mm] f''(x)\not=0 [/mm]
[mm] \bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1+x)=0 [/mm]
[mm] \bruch{2}{t}*e^{t-x}=0 [/mm]   oder   (1+x)=0
nicht definiert (s.o.)             x=-1

[mm] f''(-1)\not=0 [/mm]
[mm] E(-1;\bruch{2x}{t}*e^{t-x} [/mm]

(6)WENDESTELLEN f''(x)=0 und [mm] f'''(x)\not=0 [/mm]
[mm] \bruch{2}{t}*e^{t-x}*x=0 [/mm]
[mm] \bruch{2}{t}*e^{t-x}=0 [/mm]   oder    x=0
nicht definiert (s.o.)          

[mm] f'''(0)\not=0 [/mm]
[mm] W(0;e^t) [/mm]

Soweit bin ich jetzt...für das Verhalten im Unendlichen habe ich folegenden Ansatz, weiß dann aber nciht weiter und bei den Asymptoten bin ich wie gesagt ganz überfragt!

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= ???

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{2x}{t}=-\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{t-x}= [/mm] ???

Naja und dasselbe dann mit [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm]
Was rasukommt kann ich aber ncith genau sagen...

Vielleicht hat ja jemand Zeit,sich das, was ich bisher habe, mal anzusehen und mir weiterzuhelfen!

Wäre wirklich lieb
LG
AMY
        
Bezug
Korrektur und Hilfe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mo 12.02.2007
Autor: informix

Hallo Amy1988,

> Führen Sie eine Kurvendiskussion durch
>  
> [mm]f(x)=-\bruch{2x}{t}*e^{t-x}[/mm]
>  Hallo ihr Lieben!!!
>  
> Ich habe schonmla hiermit angefangen. Wasmir Probleme
> breitet ist das VERHALTEN IM UNENDLICHEN UND DIE ASYMPTOTEN
> (falls es die gibt ?!)
>  
> Bisher habe ich folgendes:
>  
> (1) [mm]D=\IR[/mm]   [ok]
>  
> (2)SYMMERTRIE
>  --> Keine Symmertrie vorhanden   [ok]

>  
> (3)NULLSTELLEN f(x)=0
>  [mm]-\bruch{2x}{t}*e^{t-x}=0[/mm]
>  [mm]-\bruch{2x}{t}=0[/mm]  oder   [mm]e^{t-x}=0[/mm]
>  x=0                      t-x=ln(0) -->nicht definiert
>  N(0;0)   [ok]
>  
> (4)ABLEITUNGEN
>  [mm]f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1+x)[/mm]   [notok]

es muss heißen: [mm] f'(x)=\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(x-1) [/mm]
damit sind die anderen Ableitungen und der Rest ebenfalls nicht korrekt:
>  [mm]f''(x)=\bruch{2}{t}*e^{t-x}*x[/mm]
>  [mm]f'''(x)=\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1-x)[/mm]
>  
> (5)EXTREMA f'(x)=0 und [mm]f''(x)\not=0[/mm]
>  [mm]\bruch{2}{t}*e^{t-x}*(1+x)=0[/mm]
>  [mm]\bruch{2}{t}*e^{t-x}=0[/mm]   oder   (1+x)=0
>  nicht definiert (s.o.)             x=-1
>  
> [mm]f''(-1)\not=0[/mm]
>  [mm]E(-1;\bruch{2x}{t}*e^{t-x}[/mm]
>  
> (6)WENDESTELLEN f''(x)=0 und [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
>  [mm]\bruch{2}{t}*e^{t-x}*x=0[/mm]
>  [mm]\bruch{2}{t}*e^{t-x}=0[/mm]   oder    x=0
>  nicht definiert (s.o.)          
>
> [mm]f'''(0)\not=0[/mm]
>  [mm]W(0;e^t)[/mm]
>  
> Soweit bin ich jetzt...für das Verhalten im Unendlichen
> habe ich folegenden Ansatz, weiß dann aber nciht weiter und
> bei den Asymptoten bin ich wie gesagt ganz überfragt!
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x)= ???
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{2x}{t}=-\infty[/mm]
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{t-x}=[/mm] ???

grundsätzlich gilt: [mm] e^{-x} [/mm] geht viel "schneller" gegen 0 als jede x-Potenz gegen [mm] \infty. [/mm]
Zeichne einfach mal mit []Funkyplot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Naja und dasselbe dann mit [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm]
>  Was rasukommt kann ich aber ncith genau sagen...

analog wie oben, auch jetzt bestimmt die e-Funktion das Verhalten [mm] $\to \pm \infty$ [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Korrektur und Hilfe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mo 12.02.2007
Autor: Amy1988

Ich habe jetzt noch ein paar mal durchgerechnet, aber ich komme nicht so wirklich auf den Fehler, den ich deiner Meinung nach gemacht habe...
Ich schreibe kurz mal meinen Zwischenschritt hin:

[mm] f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}+(-\bruch{2x}{t}*(-e^{t-x}) [/mm]
[mm] f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}(1+x) [/mm]

Vielleicht hat ja jemand Lust, nochmal drüberzuschauen!!!

AMY
Bezug
                        
Bezug
Korrektur und Hilfe: so geht's
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 12.02.2007
Autor: informix

Hallo Amy1988,

> Ich habe jetzt noch ein paar mal durchgerechnet, aber ich
> komme nicht so wirklich auf den Fehler, den ich deiner
> Meinung nach gemacht habe...
>  Ich schreibe kurz mal meinen Zwischenschritt hin:
>  
> [mm]f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}+(-\bruch{2x}{t}*(-e^{t-x})[/mm]
>  [mm]f'(x)=-\bruch{2}{t}*e^{t-x}(1+x)[/mm]
>  
> Vielleicht hat ja jemand Lust, nochmal drüberzuschauen!!!

du hast vor dem x in der Klammer ein "-"-Zeichen verloren, wahrscheinlich bei der Produktregel.

[mm] f_t(x)=\underbrace{\frac{-2*e^t}{t}}_{\text{konstanter Faktor}=K}*[x*e^{-x}] [/mm]

[mm] f_t(x)=K*x*e^{-x} [/mm] wird mit der Produktregel abgeleitet:

[mm] f_t'(x)=K*(e^{-x}-xe^{-x})=K*e^{-x}(1-x)=\frac{-2*e^t}{t}*e^{-x}*(1-x) [/mm]

rechne jeweils mit dem Faktor K weiter, dann bleibt's übersichtlich!

Gruß informix
Bezug
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