Korrektur Ladung auf Kugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:47 Do 10.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Eine Ladung Q sei homogen
a) auf die Oberfläche einer Hohlkugel mit Radius R verteilt
b) auf eine Kugel mit Radius R verteilt
Berechnen Sie für beide Fälle das elektrische Feld [mm] $\overrightarrow{E}$ [/mm] und das Potential [mm] $\Phi$ [/mm] innerhalb und ausserhalb der Kugel und stellen Sie es graphisch als Funktion des Abstandes vom Kugelmittelpunkt dar. Skizzieren Sie auch die Feldlinien und Äquipotentialflächen. |
Hallo,
a) Ausserhalb: [mm] $\overrightarrow{E}(r) 4\pi r^{2} [/mm] = [mm] \frac{Q}{\epsilon_{0}} \Rightarrow \overrightarrow{E}(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} r^{2}}$ [/mm] für r > R.
[mm] $\Phi(r)=-\integral_{\infty}^{r} \overrightarrow{E}(r')d\overrightarrow{r} \Rightarrow \Phi(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} r} [/mm] für r> R
innerhalb: sind sowohl Feld und Potential 0.
b) innerhalb: [mm] $\integral \overrightarrow{E}d\overrightarrow{A}=\frac{\rho V}{\epsilon_{0}}$ [/mm] für $r < R$ (Volumenladung)
[mm] $\overrightarrow{E}(r) 4\pi r^{2}= \frac{\rho \frac{4}{3} \pi r^{3}}{\epsilon_{0}}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{E}(r)=\frac{\rho r}{3 \epsilon_{0}} \Rightarrow \overrightarrow{E}(r)=\frac{Qr}{4\pi R^{3} \epsilon_{0}}$ [/mm] für r < R
[mm] $\Phi(r)= -\integral_{\infty}^{r} \overrightarrow{E}d\overrightarrow{s} [/mm] = [mm] \Phi(R)- \integral_{R}^{r}\frac{Qr}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}dr
[/mm]
[mm] =\Phi(R) [/mm] - [mm] \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}}(\frac{1}{2}r^{2})_{R}^{r}$
[/mm]
$= [mm] \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} R}- \frac{Q}{8\pi \epsilon_{0} R^{3}}r^{2}+ \frac{Q}{8\pi \epsilon_{0} R}= \frac{-Q}{4\pi \epsilon_{0} R}(\frac{r^{2}}{2R^{2}}-\frac{3}{2})=\Phi [/mm] $
für r < R
ausserhalb: gleich wie bei a)
Ist das so richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo!
Du irrst dich bei dem Potential.
Du schreibst selbst
[mm] $\Phi(r)=-\integral_{\infty}^{r} \overrightarrow{E}(r')d\overrightarrow{r} \Rightarrow \Phi(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0} r}$ [/mm] für r> R
Das gilt aber auch für innerhalb der Kugel, wobei du als untere Grenze wahlweise das Potential 0 im Unendlichen oder das der Hohlkugel im Abstand R annehmen kannst.
Das Potential innerhalb der Kugel ist gleich dem auf der Oberfläche! (Sonst gäbe es ein sattes E-Feld an der inneren Oberfläche)
Anschaulich: Das Potential gibt die Höhe eines Gebirges an, das E-Feld zusammen mit einer Probemasse die Kraft, mit der diese Masse bergab drückt.
Die Hohlkugel ist ein Berg, der oben ein absolut ebenes Plateau hat. Bist du einmal drauf, merkst du nichts mehr von der Höhe.
Für die Vollkugel sieht der Berg aus wie eine nach unten geöffnete Parabel, hier stimmt dein Ergebnis von der Form her auch, allerdings habe ich nicht genau nachgerechnet, ob die Zahlen stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Do 10.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Event_Horizon,
1. Hohlkugel
Ausserhalb stimmen mein elektrisches Feld und das Potential??
< Du irrst dich bei dem Potential.
Das Potential innerhalb wäre demnach : [mm] $\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R}$ [/mm] für $r [mm] \le [/mm] R$
und das Potential ausserhalb: [mm] $\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r}$ [/mm] für $r [mm] \ge [/mm] R$
2. homogene Kugel: hier stimmt alles?
< allerdings habe ich nicht genau nachgerechnet
Es handelt sich hier um eine Klausuraufgabe aus einem älteren Jahrgang, daher wäre ich dankbar wenn jemand auch die Rechnung bestätigen könnte!
Danke dir jedenfalls für die Korrektur beim Potential!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Do 10.03.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo Event_Horizon,
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> 1. Hohlkugel
>
> Ausserhalb stimmen mein elektrisches Feld und das
> Potential??
ja.
>
> < Du irrst dich bei dem Potential.
>
> Das Potential innerhalb wäre demnach : [mm]\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R}[/mm]
> für [mm]r \le R[/mm]
Genau.
>
> und das Potential ausserhalb: [mm]\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r}[/mm]
> für [mm]r \ge R[/mm]
Auch richtig.
>
>
> 2. homogene Kugel: hier stimmt alles?
>
Ich habe mal keine Fehler gefunden.
> < allerdings habe ich nicht genau nachgerechnet
>
> Es handelt sich hier um eine Klausuraufgabe aus einem
> älteren Jahrgang, daher wäre ich dankbar wenn jemand auch
> die Rechnung bestätigen könnte!
>
>
> Danke dir jedenfalls für die Korrektur beim Potential!
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Do 10.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Ich habe mal keine Fehler gefunden.
Dankeschön!
Gruss
kushkush
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