Korrektur Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4.4.
Gegeben sei die Matrix [mm] $A=\vektor{2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3& 3 \\ 3& 0 & -4 & -1}$. [/mm] Finden Sie jeweils für den Kern und für das Bild der durch die Matrix A definierten linearen Abbildung [mm] $L_{A}$ [/mm] eine Basis und überprüfen Sie die Dimensionsformel. |
OK,
Zuerst habe ich den Gauss auf die Matrix verwendet und die Matrix A auf diese Form gebracht:
[mm] $A=\vektor{2&1&-1&2\\0&3&5&8\\0&0&0&0}$ [/mm]
Also Rang 2
Für die Basis des Kerns setze ich $Ax=0$
$2x+y-z+d=0$
$3y+5z+8d=0$
[mm] x:=\alpha
[/mm]
[mm] d:=\gamma
[/mm]
Lösungsmenge: [mm] $\vektor{\alpha\\ \frac{-9d}{4}-\frac{5\alpha}{4}\\ \frac{3\alpha}{4}-\frac{\gamma}{4}\\ \gamma}$
[/mm]
[mm] Basisvektoren:$v_{1}=\vektor{1\\\frac{-5}{4}\\ \frac{3}{4} \\ 0}$ $v_{2}=\vektor{0\\\frac{-9}{4}\\ \frac{-1}{4}\\ 1}$
[/mm]
Also Dimension 2
Für das Bild(A) gilt:
[mm] $lin(\vektor{2\\-1\\3}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{-1\\3\\-4}, \vektor{2\\3\\-1})$
[/mm]
Reicht das schon als "Basis des Bildes"?
hat also Dimension 4.
Damit ist doch die Dimensionsformel erfüllt weil 4=2+2 ?
Wäre für eine Korrektur sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke für jeden Hinweis.
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Hallo kushkush,
> 4.4.
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> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\vektor{2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3& 3 \\ 3& 0 & -4 & -1}[/mm].
> Finden Sie jeweils für den Kern und für das Bild der
> durch die Matrix A definierten linearen Abbildung [mm]L_{A}[/mm]
> eine Basis und überprüfen Sie die Dimensionsformel.
> OK,
>
> Zuerst habe ich den Gauss auf die Matrix verwendet und die
> Matrix A auf diese Form gebracht:
>
> [mm]A=\vektor{2&1&-1&2\\0&3&5&8\\0&0&0&0}[/mm]
>
> Also Rang 2
>
> Für die Basis des Kerns setze ich [mm]Ax=0[/mm]
>
> [mm]2x+y-z+d=0[/mm]
> [mm]3y+5z+8d=0[/mm]
>
> [mm]x:=\alpha[/mm]
> [mm]d:=\gamma[/mm]
> Lösungsmenge: [mm]\vektor{\alpha\\ \frac{-9d}{4}-\frac{5\alpha}{4}\\ \frac{3\alpha}{4}-\frac{\gamma}{4}\\ \gamma}[/mm]
>
> Basisvektoren:[mm]v_{1}=\vektor{1\\\frac{-5}{4}\\ \frac{3}{4} \\ 0}[/mm]
> [mm]v_{2}=\vektor{0\\\frac{-9}{4}\\ \frac{-1}{4}\\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also Dimension 2
>
> Für das Bild(A) gilt:
>
> [mm]lin(\vektor{2\\-1\\3}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{-1\\3\\-4}, \vektor{2\\3\\-1})[/mm]
>
> Reicht das schon als "Basis des Bildes"?
Nein, unter den angegebenen Vektoren findet sich mindestens einer,
der zu den übrigen Vektoren linear abhängig ist.
>
> hat also Dimension 4.
>
> Damit ist doch die Dimensionsformel erfüllt weil 4=2+2 ?
>
Die Dimensionsformel lautet, wenn f eine lineare Abbildung
vom Vektorraum V in den Vektorraum W ist:
[mm]\operatorname{dim}\ V = \operatorname{dim} \operatorname{Kern \ f}+\operatorname{dim} \operatorname{Bild \ f}[/mm]
>
> Wäre für eine Korrektur sehr dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> danke für jeden Hinweis.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo MathePower,
> >Nein, unter den angegebenen Vektoren findet sich mindestens einer,
> > der zu den übrigen Vektoren linear abhängig ist.
Wie nennt sich denn das Stichwort, um diesen zu finden? Jetzt wo du es geschrieben hast, sehe ich auch dass der erste Vektor erhält indem man 4SV-3SV-2SV rechnet. Aber wäre eben nicht drauf gekommen wenn du es nicht geschrieben hättest.
Also hat mein Vektorraum die Dimension 5. Aber wozu dann den Rang der Matrix bestimmen??
Danke !!
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Hallo kushkush,
> Hallo MathePower,
>
> > >Nein, unter den angegebenen Vektoren findet sich
> mindestens einer,
> > > der zu den übrigen Vektoren linear abhängig ist.
>
>
> Wie nennt sich denn das Stichwort, um diesen zu finden?
Das Stichwort steht ja schon da.
Überprüfe also, welche Vektoren linear abhängig sind.
> Jetzt wo du es geschrieben hast, sehe ich auch dass der
> erste Vektor erhält indem man 4SV-3SV-2SV rechnet. Aber
> wäre eben nicht drauf gekommen wenn du es nicht
> geschrieben hättest.
>
>
> Also hat mein Vektorraum die Dimension 5. Aber wozu dann
> den Rang der Matrix bestimmen??
>
Hier liegt eine Abbildung von [mm]\IR^{4}[/mm] nach [mm]\IR^{3}[/mm] vor.
Danach hat der gegebene Vektorraum die Dimension 4.
> Danke !!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Aber wenn:
$dim V = dim Kernf + dim Bild f$
Dann ist doch das dim V = 2+3 ... ?
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Hallo kushkush,
> Aber wenn:
>
> [mm]dim V = dim Kernf + dim Bild f[/mm]
>
>
> Dann ist doch das dim V = 2+3 ... ?
Die Dimension des Bildes ist aber nicht 3.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
OK,
der Rang einer Matrix ist immer die Dimension des Bildes...? Und für die Basis des Bildes nehme ich die Transponierte Matrix [mm] $\vektor{2&-1&3\\1&1&0\\-1&3&-4\\2&3&-1}$ [/mm] und forme sie um zu:
[mm] $\vektor{1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&0}$
[/mm]
Dann wieder zurücktransponieren und das sind meine Basisvektoren?
Ist das so richtig?
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Hallo kushkush,
> OK,
>
> der Rang einer Matrix ist immer die Dimension des
> Bildes...? Und für die Basis des Bildes nehme ich die
> Transponierte Matrix
> [mm]\vektor{2&-1&3\\1&1&0\\-1&3&-4\\2&3&-1}[/mm] und forme sie um
> zu:
>
> [mm]\vektor{1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&0}[/mm]
>
> Dann wieder zurücktransponieren und das sind meine
> Basisvektoren?
>
Ja, wobei der Nullvektor kein Basisvektor sein kann.
>
> Ist das so richtig?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
OK Dankeschön!!!!
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