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| Aufgabe | Eine faire Münze wird [mm]n[/mm]-mal geworfen, [mm]K_n :=[/mm] Anzahl von [mm]Kopf[/mm], [mm]W_n :=[/mm] Anzahl von [mm]Wappen[/mm]. Berechnen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|K_n - W_n| \le n*x) [/mm], [mm]x \ge 0 [/mm]
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Hallo, wir haben einen Satz auf den ich hinarbeiten möchte.
Ich nenne ihn gleich vorneweg:
[mm] Satz [/mm]:
[mm] (X_i)_{i\in \IN} [/mm] unabhängig, [mm] X_i \in \mathcal{L}^2 [/mm], [mm] \forall i \ge 1 [/mm] mit [mm] Var(S_n) = \sum_{i=1}^{n}Var(X_i) \to \infty [/mm], [mm] n \to \infty [/mm],
wobei [mm] S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i [/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{S_n - E(S_n)}{Var(S_n)} \to 0 [/mm]
[mm] Satzende [/mm].
Also seien [mm] (X_i)_{i\in \IN} [/mm] i.i.d [mm] B(1,\bruch{1}{2}) [/mm] und [mm] K_n := \sum_{i=1}^{n} X_i[/mm], sowie [mm] W_n := n - K_n [/mm].
[mm] K_n-W_n = \sum_{i=1}^{n} X_i - n + \sum_{i=1}^{n} X_i = 2* \sum_{i=1}^{n} X_i - n = \sum_{i=1}^{n} (2*X_i -1 ) [/mm]
Setze [mm] Y_i := 2*X_i -1 [/mm].
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(|K_n - W_n| \le n*x) = \limes_{n\rightarrow\infty} P(|\bruch{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{n}| \le x) [/mm]
[mm] X_i[/mm] unabhängig [mm]\Rightarrow Y_i [/mm] unabhängig.
Es gilt:
[mm] Var(Y_1) = Var(2*X_1 - 1) = Var(2*X_1) = 2^2*Var(X_1) = 4*\bruch{1}{4} = 1 [/mm]
und
[mm] E(Y_1) = \bruch{1}{2}*(-1) + \bruch{1}{2}*1 = 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{n} = \bruch{\sum_{i=1}^{n} Y_i - E(\sum_{i=1}^{n} Y_i)}{Var(\sum_{i=1}^{n} Y_i)} = \bruch{S_n - E(S_n)}{Var(S_n)} [/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{n} \to 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(|K_n - W_n| \le n*x) = 1 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 23.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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