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| Aufgabe | Lösen sie das AWP durch seperation
[mm] $y'(x)=(y(x)+x)^2-1$ [/mm] mit $y(0)=1$ |
hallo ich brauche eine Vergewisserung ,ob meine lösung formal korrekt ist.
[mm] $y'(x)=(y(x)+x)^2-1$ [/mm]
$z= y(x)+x [mm] \Rightarrow [/mm] z'= y(x)'+1$
$z'= y(x)'+1 [mm] \Rightarrow [/mm] z'= [mm] z^2 [/mm] -1+1$
[mm] $\gdw [/mm] z'= [mm] z^2 [/mm] = [mm] \underbrace{1}_{=f(x)}*\underbrace{z^2}_{=g(z)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \integral_{1}^{z}{\frac{1}{t^2} dt}|_{t^2=z^2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{1 dx}$
[/mm]
[mm] $\gdw |-\frac{1}{t}|_{1}^{z} [/mm] = x$
[mm] $\gdw -\frac{1}{z} [/mm] + [mm] \frac{1}{1} [/mm] = x$
[mm] $\gdw -\frac{1}{z} [/mm] = x-1$ [mm] $|\cdot{}(-1)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] z = [mm] \frac{1}{(-x+1)}$ [/mm]
z resubstituiert
[mm] $\Rightarrow [/mm] y(x)+x = [mm] \frac{1}{(-x+1)}$ [/mm] $| -x$
[mm] $\gdw [/mm] y(x) = [mm] \frac{1}{(-x+1)}-x [/mm] $
kann man das so machen,wie ich,dass man direkt die grenzen einsetzt und dann die konstante wegfallen lassen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 So 08.02.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Lösen sie das AWP durch seperation
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> [mm]y'(x)=(y(x)+x)^2-1[/mm] mit [mm]y(0)=1[/mm]
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> hallo ich brauche eine Vergewisserung ,ob meine lösung
> formal korrekt ist.
>
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> [mm]y'(x)=(y(x)+x)^2-1[/mm]
>
> [mm]z= y(x)+x \Rightarrow z'= y(x)'+1[/mm]
>
> [mm]z'= y(x)'+1 \Rightarrow z'= z^2 -1+1[/mm]
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> [mm]\gdw z'= z^2 = \underbrace{1}_{=f(x)}*\underbrace{z^2}_{=g(z)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{1}^{z}{\frac{1}{t^2} dt}|_{t^2=z^2} = \integral_{0}^{x}{1 dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw |-\frac{1}{t}|_{1}^{z} = x[/mm]
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> [mm]\gdw -\frac{1}{z} + \frac{1}{1} = x[/mm]
>
> [mm]\gdw -\frac{1}{z} = x-1[/mm] [mm]|\cdot{}(-1)[/mm]
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> [mm]\gdw z = \frac{1}{(-x+1)}[/mm]
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> z resubstituiert
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> [mm]\Rightarrow y(x)+x = \frac{1}{(-x+1)}[/mm] [mm]| -x[/mm]
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> [mm]\gdw y(x) = \frac{1}{(-x+1)}-x[/mm]
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> kann man das so machen,wie ich,dass man direkt die grenzen
> einsetzt und dann die konstante wegfallen lassen kann?
Ja, in dem Fall hast Du ja die Konstante schon zu c=1 bestimmmt.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 So 08.02.2015 | | Autor: | PeterPaul |
dank dir ! :)
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