Koppelung von R-Dichten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:09 So 09.05.2004 | | Autor: | Freddy |
Hab da folgende Aufgabe:
"Ein Handwerker benötige zur Reparatur einer Waschmaschine zwischen 10 und 40 Minuten (stetig gleichverteilt). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Geräte in einer Stunde schafft (Ereignis A), (a) wenn die Zeiten für beide Geräte unabhängig sind, (b) wenn er, falls die erste Reparatur unter 30 Minuten gedauert hat, vor der zweiten Reparatur eine Pause von 10 Minuten macht. Man gebe in beiden Fällen eine R-Dichte in [mm] $\IR^2$ [/mm] an und skizziere das Ereignis A."
Also hab mir da folgende Gedanken gemacht:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \left\{ \left(\omega_1,\omega_2\right):\omega_i \ge0\right\}$
[/mm]
Es handelt sich um (a) eine unabhängige Koppelung (b) eine abhängige Koppelung
[mm] $f_1\left(\omega_1,\omega_2\right)=f_1\left(\omega_1\right)*f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)$
[/mm]
mit [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2^1$ [/mm] als R-Dichten.
[mm] $A:=\left\{\left(\omega_1,\omega_2\right):\omega_1+\omega_2\le60\right\}$ [/mm] ist das Ereignis A.
Dann ist [mm] $f_1$ [/mm] R(a,b)-verteilt mit [mm] $f_1\left(\omega_1\right)=\bruch{1}{40-10}=\bruch{1}{30}$
[/mm]
[mm] $f_2^1$ [/mm] ist für Aufgabe (a) auch [mm] $f_1\left(\omega_1\right)$
[/mm]
Doch wie rechne ich nun P(A) aus? Ich muss dazu sagen, dass ich noch Anfänger bin, dass ich Integrale und Stochastik nie in der Schule hatte(!!) und dass ich Analysis erst in diesem Semester in der Uni beginne.
Hab da für die Berechnung die Tipps des Profs zu Folgendem umgewandelt:
[mm] $P(A)=\integral_{10}^{40}\,\integral_{0}^{60-\omega_1}\,f_1\left(\omega_1\right)*f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)d\omega_2 d\omega_1$
[/mm]
Kann mir jemand diesen Ausdruck erklären? Und wie berechnet man diesen?
Gilt dieser auch für Aufgabe (b)?
Für Aufgabe (b) muss eine Fallunterscheidung erfolgen für [mm] $\omega_1\ge30$ [/mm] und [mm] $\omega_1<30$
[/mm]
Mehr konnte ich nicht herausbekommen.
Die Lösung drängt und ist sehr wichtig, da ich versäumte Punkte durch Krankheit in den ersten Semester-Wochen unbedingt aufholen muss.
Hat jemand Rat?
Ich danke für die Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Freddy,
ich fange mal an mit einer Antwort:
> "Ein Handwerker benötige zur Reparatur einer Waschmaschine
> zwischen 10 und 40 Minuten (stetig gleichverteilt). Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Geräte in
> einer Stunde schafft (Ereignis A), (a) wenn die Zeiten für
> beide Geräte unabhängig sind, (b) wenn er, falls die erste
> Reparatur unter 30 Minuten gedauert hat, vor der zweiten
> Reparatur eine Pause von 10 Minuten macht. Man gebe in
> beiden Fällen eine R-Dichte in [mm] $\IR^2$ [/mm] an und skizziere das
> Ereignis A."
>
> Also hab mir da folgende Gedanken gemacht:
> [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \left\{ \left(\omega_1,\omega_2\right):\omega_i
> \ge0\right\}$
[/mm]
> Es handelt sich um (a) eine unabhängige Koppelung (b) eine
> abhängige Koppelung
>
> [mm] $f_1\left(\omega_1,\omega_2\right)=f_1\left(\omega_1\right)*f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)$
[/mm]
> mit [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2^1$ [/mm] als R-Dichten.
Sehr gut!
> [mm] $A:=\left\{\left(\omega_1,\omega_2\right):\omega_1+\omega_2\le60\right\}$ [/mm]
> ist das Ereignis A.
Richtig!
> Dann ist [mm] $f_1$ [/mm] R(a,b)-verteilt mit
> [mm] $f_1\left(\omega_1\right)=\bruch{1}{40-10}=\bruch{1}{30}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] $f_2^1$ [/mm] ist für Aufgabe (a) auch
> [mm] $f_1\left(\omega_1\right)$
[/mm]
> Doch wie rechne ich nun P(A) aus? Ich muss dazu sagen,
> dass ich noch Anfänger bin, dass ich Integrale und
> Stochastik nie in der Schule hatte(!!) und dass ich
> Analysis erst in diesem Semester in der Uni beginne.
> Hab da für die Berechnung die Tipps des Profs zu Folgendem
> umgewandelt:
> [mm] $P(A)=\integral_{10}^{40}\,\integral_{0}^{60-\omega_1}\,f_1\left(\omega_1\right)*f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)d\omega_2 [/mm]
> [mm] d\omega_1$
[/mm]
> Kann mir jemand diesen Ausdruck erklären?
Naja, es geht ja nur um den Integrationsbereich. Wir hatten:
[mm] $A:=\left\{\left(\omega_1,\omega_2\right):\omega_1+\omega_2\le60\right\}$. [/mm]
Nun möchte ich, wenn das möglich ist, das Ganze als iteriertes Integral schreiben, d.h. [mm]\omega_1[/mm] als Funktion von [mm]\omega_2[/mm] (oder umgekehrt) ausdrücken.
Was mit [mm]\omega_1[/mm] ist, wissen wir ja: [mm]\omega_1[/mm] kann zwischen [mm]10[/mm] und [mm]40[/mm] liegen. Nehmen wir mal an, es wäre [mm]\omega_1=30[/mm]. Wie groß darf dann [mm]\omega_2[/mm] sein? Da ja [mm]\omega_1 + \omega_2\le 60[/mm] gelten muss, folgt: [mm]0 \le \omega_2 \le 60- 30 = 30[/mm].
Allgemein folgt für festes [mm]\omega_1[/mm], dass [mm]\omega_2[/mm] zwischen [mm]0[/mm] und [mm]60-\omega_1[/mm] liegen muss, damit das Ereignis [mm]A[/mm] eintritt (und genau dann tritt es auch ein).
> Und wie berechnet
> man diesen?
Durch Einsetzen! Beachte bitte, dass [mm]f_2^1[/mm] außerhalb von [mm][10,40][/mm] verschwindet, daher reduziert sich der "effektive" Integrationsbereich.
[mm]P(A)=\integral_{10}^{40}\,\integral_{0}^{60-\omega_1}\,f_1\left(\omega_1\right)*f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)d\omega_2
d\omega_1[/mm]
[mm]= \integral_{10}^{40}\,\integral_{10}^{\min\{40,60-\omega_1\}} \,\frac{1}{30}\cdot \frac{1}{30} d\omega_2
d\omega_1[/mm]
[mm]= \frac{1}{900} \left[ \int_{10}^{20} \int_{10}^{40} 1 d\omega_2d\omega_1 + \int_{20}^{40} \int_{10}^{60-\omega_1} 1 d\omega_2 d\omega_2 \right][/mm]
[mm] = \ldots[/mm].
Versuche das jetzt mal auszurechnen und melde dich mit einem Lösungsvorschlag.
> Gilt dieser auch für Aufgabe (b)?
Nein. Die grundsätzliche Formel bleibt, aber die Dichte ändert sich.
Näheres später, wenn du dich wieder mit eigenen weiteren Schritten gemeldet hast.
Vielleicht kann ja jemand anderes mehr (und ausführlicher) dazu schreiben. Ich muss leider arbeiten. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Freddy |
Vielen Dank für deine Tipps. Haben mir sehr geholfen.
Für (a) hab ich P(A) = 7/9 ausgerechnet.
Für (b) habe ich eine Fallunterscheidung für [mm] $f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)$ [/mm] gemacht mit vier Fällen.
Und zwar so:
[mm] $f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)=\left\{\begin{matrix}
1/30, & \omega_1 \ge 30 \\
0, & \omega_1 < 30, \omega_2 < 20 \\
1/30, &\omega_1 <30, 20 < \omega_2 < 30 \\
1/15, & \omega_1 <30, \omega_2 \ge 30 \\
\end{matrix}\right\
[/mm]
Hab dann eine dür mich sehr komplizierte Integralschachtelung, die ich noch versuche auszurechnen.
Würd mich über weitere Tipps freuen.
Vielleicht hat ja jemand ein wenig Zeit für mich.
Gruß
Frederik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Freddy!
> Vielen Dank für deine Tipps. Haben mir sehr geholfen.
Das freut mich.
> Für (a) hab ich P(A) = 7/9 ausgerechnet.
Das kann ich bestätigen. 
> Für (b) habe ich eine Fallunterscheidung für
> [mm] $f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)$ [/mm] gemacht mit vier
> Fällen.
> Und zwar so:
> [mm] $f_2^1\left(\omega_1,\omega_2\right)=\left\{\begin{matrix}
>
> 1/30, & \omega_1 \ge 30 \\
> 0, & \omega_1 < 30, \omega_2 < 20 \\
> 1/30, &\omega_1 <30, 20 < \omega_2 < 30 \\
> 1/15, & \omega_1 <30, \omega_2 \ge 30 \\
> \end{matrix}\right\
[/mm]
Das stimmt so nicht.
Wie du habe ich die Pause zur Arbeitszeit dazu gerechnet (das machen die Handwerker in der Praxis schließlich auch so ).
Dann erhalte ich:
[mm]f_2^1 (\omega_1,\omega_2) = \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{1}{30} \cdot 1_{[20,50]}(\omega_2) & , & \mbox{falls} & 10 \le \omega_1 \le 30\\[5pt] \frac{1}{30} \cdot 1_{[10,40]}(\omega_2) & , & \mbox{falls} & 40 \ge \omega_1>30 \end{array}\right.[/mm]
So, nun berechnen wir:
[mm]P(A) = \frac{1}{900} \int_{10}^{30} \int_{20}^{\min\{50,60-\omega_1\}} 1 d\omega_2\, d\omega_1 + \frac{1}{900} \int_{30}^{40} \int_{10}^{\min\{40,60-\omega_1\}} 1 d\omega_2\, d\omega_1[/mm]
[mm]= \ldots[/mm]
Kannst du das nachvollziehen bis dahin?
Ich warte jetzt auf einen neuen Lösungsversuch von dir.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Freddy |
Also, danke nochmal - für deine Mühe.
Ich weiß das sehr zu schätzen.
Hab da viel drüber nachgedacht. Als Ergebnis habe ich 11/18 heraus, was ja auch ungefähr hinkommt, da es etwas unter 14/18 von (a) liegt. Mit der Integralrechnung habe ich mich nun langsam auseinander gesetzt (Das ist immerhin das erste Mal!!!)
Deinem Ansatz zu folgen ist sehr schwierig, aber so langsam denke ich, dass ich es durchschaue. Da qualt es ganz schön aus meinem Kopf...
Viele liebe Grüße
Frederik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Freddy |
Oh, ich hatte eine Frage geschrieben, anstatt eine Mitteilung/Antwort.
So ist der Status dann ja nicht mehr unbeantwortet.
Oder geht das auch einfacher?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Freddy |
Habe es anscheindend nicht geschafft und bracuhe dringend Hilfe!
Weiß nicht, ob (a) richtig ist, aber sieht ganz gut aus.
Bei (b) habe ich wohl was falsch gemacht - kommt mehr als 100% heraus. Ich hab aber keine Ahnung, wo der Fehler liegen könnte. Kann mir jemand helfen?
Das alles abzutippen würde jetzt zu lange dauern - ich brauch die Lösung bis heute abend!!!
Deshalb hab ich meine Notitzen eingescannt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.derliegestuhl.de/files/Koppelung.PDF
Würde mich freuen rechtzeitig meine Fehler verbessern zu können.
Viele Grüße
Frederik
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