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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 19.05.2011 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung von [mm] $g\circ [/mm] f$ einmal direkt und einmal mit der Kettenregel.
[mm] g(x,y,z)=x*ln(x^2+y^2+z^2)
[/mm]
[mm] f(r,\vartheta,\phi)=(r*sin\vartheta*cos\phi, r*sin\vartheta*sin\phi, r*cos\vartheta) [/mm] |
Hallo Leute,
ich beschäftige mich das erste mal mit Kugelkoordinaten und den Zusammenhängen der Koordinatensysteme.
Meine Frage ist zunächst, ob man denn folgendes schreiben kann:
[mm] $f(r,\vartheta,\phi)=f(x, [/mm] y, z)$
weil ja, wenn man von den Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnet, genau [mm] $(r*sin\vartheta*cos\phi, r*sin\vartheta*sin\phi, r*cos\vartheta)=(x, [/mm] y, z)$ ist.
Wenn dem so wäre, könnte man ja einfach gleich schreiben:
$f(x, y, z)$=$(x, y, z)$
,wodurch die Aufgabe denkbar einfach werden würde.
Das ist eigentlich meine einzige Frage.
Danke euch!
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> Berechnen Sie die Ableitung von [mm]g\circ f[/mm] einmal direkt und
> einmal mit der Kettenregel.
>
> [mm]g(x,y,z)=x*ln(x^2+y^2+z^2)[/mm]
>
> [mm]f(r,\vartheta,\phi)=(r*sin\vartheta*cos\phi, r*sin\vartheta*sin\phi, r*cos\vartheta)[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> ich beschäftige mich das erste mal mit Kugelkoordinaten
> und den Zusammenhängen der Koordinatensysteme.
>
> Meine Frage ist zunächst, ob man denn folgendes schreiben
> kann:
>
> [mm]f(r,\vartheta,\phi)=f(x, y, z)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> weil ja, wenn man von den Kugelkoordinaten in kartesische
> Koordinaten umrechnet, genau [mm](r*sin\vartheta*cos\phi, r*sin\vartheta*sin\phi, r*cos\vartheta)=(x, y, z)[/mm]
> ist.
> Wenn dem so wäre, könnte man ja einfach gleich
> schreiben:
>
> [mm]f(x, y, z)[/mm]=[mm](x, y, z)[/mm]
>
> ,wodurch die Aufgabe denkbar einfach werden würde.
>
> Das ist eigentlich meine einzige Frage.
> Danke euch!
So simpel ist die Sache nicht. Es werden zwei Funktionen
f und g mit je 3 Variablen zu einer neuen Funktion [mm]h=g\circ f[/mm]
verknüpft. Wir haben
$\ [mm] h(r,\vartheta,\phi)\ [/mm] =\ [mm] g(f(r,\vartheta,\phi))\ [/mm] =\ [mm] g((r*sin\vartheta*cos\phi, r*sin\vartheta*sin\phi, r*cos\vartheta))$
[/mm]
$\ =\ [mm] r*sin\vartheta*cos\phi*ln((r*sin\vartheta*cos\phi)^2+\,......\,+\,......\,)$
[/mm]
Die "Ableitungen", die zu bestimmen sind, bestehen
übrigens immer aus je 3 partiellen Ableitungen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 19.05.2011 | | Autor: | stffn |
Sorry Das sollte als Frage rein.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 19.05.2011 | | Autor: | stffn |
Danke erstmal,
ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt.
Das hier habe ich auch noch so aufgeschrieben:
$ \ [mm] h(r,\vartheta,\phi)\ [/mm] =\ [mm] g(f(r,\vartheta,\phi))\ [/mm] =\ [mm] g((r\cdot{}sin\vartheta\cdot{}cos\phi, r\cdot{}sin\vartheta\cdot{}sin\phi, r\cdot{}cos\vartheta)) [/mm] $.
Aber wenn ich jetzt nach $(r, [mm] \vartheta, \phi)$ [/mm] ableite, passen die Ableitungen nicht mal in eine Zeile. Deshalb habe ich auch gedacht, dass es da noch einen Trick geben muss und dachte mir, dass ich mit
[mm] x=r*sin\vartheta\cdot{}cos\phi, [/mm]
[mm] y=r*sin\vartheta\cdot{}sin\phi, [/mm]
[mm] z=r*cos\vartheta
[/mm]
das hier
[mm] ($g\circ [/mm] f$)'$(r, [mm] \vartheta, \phi)$=q'$(r, \vartheta, \phi)$ [/mm]
vor dem Ableiten umformen kann.
Jetzt muss ich nochmal doof fragen: geht das nicht?? muss ich also die Ableitung nach $(r, [mm] \vartheta, \phi)$ [/mm] machen?
Mein Ergebnis lautet übrigens:
[mm] q'=\vektor{ln(x^2+y^2+z^2)+\bruch{2x^2}{x^2+y^2+z^2} \\ \bruch{2xy}{x^2+y^2+z^2} \\ \bruch{2xz}{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 19.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Danke erstmal,
>
> ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt.
>
> Das hier habe ich auch noch so aufgeschrieben:
>
> [mm]\ h(r,\vartheta,\phi)\ =\ g(f(r,\vartheta,\phi))\ =\ g((r\cdot{}sin\vartheta\cdot{}cos\phi, r\cdot{}sin\vartheta\cdot{}sin\phi, r\cdot{}cos\vartheta)) [/mm].
>
> Aber wenn ich jetzt nach [mm](r, \vartheta, \phi)[/mm] ableite,
> passen die Ableitungen nicht mal in eine Zeile. Deshalb
> habe ich auch gedacht, dass es da noch einen Trick geben
> muss und dachte mir, dass ich mit
>
> [mm]x=r*sin\vartheta\cdot{}cos\phi,[/mm]
> [mm]y=r*sin\vartheta\cdot{}sin\phi,[/mm]
> [mm]z=r*cos\vartheta[/mm]
>
> das hier
>
> ([mm]g\circ f[/mm])'[mm](r, \vartheta, \phi)[/mm]=q'[mm](r, \vartheta, \phi)[/mm]
>
> vor dem Ableiten umformen kann.
> Jetzt muss ich nochmal doof fragen: geht das nicht?? muss
> ich also die Ableitung nach [mm](r, \vartheta, \phi)[/mm] machen?
>
> Mein Ergebnis lautet übrigens:
>
> [mm]q'=\vektor{ln(x^2+y^2+z^2)+\bruch{2x^2}{x^2+y^2+z^2} \\ \bruch{2xy}{x^2+y^2+z^2} \\ \bruch{2xz}{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
>
>
Die Aufgabenstellung schreibt Dir vor, was Du tun sollst:
Du hast zwei Funktionen
[mm]f:\IR^3\to\IR^3; (r,\theta,\phi)\mapsto (f^x(r,\theta,\phi),f^y(r,\theta,\phi),f^z(r,\theta,\phi))[/mm] und [mm]g:\IR^3\to\IR; (x,y,z)\mapsto g(x,y,z)[/mm] gegeben und sollst
[mm] h:\IR^3\to\IR; (r,\theta,\phi)\mapsto h(r,\theta,\phi):=g(f^x(r,\theta,\phi),f^y(r,\theta,\phi),f^z(r,\theta,\phi))
[/mm]
ableiten, und zwar einmal, indem Du [mm] h(r,\theta,\phi) [/mm] direkt nach seinen Variablen ableitest und ein zweites Mal, indem Du erst die Ableitungen von g und f bestimmst und sie dann im Rahmen der Kettenregel verknüpfst.
Dabei ergibt sich für h die Gestalt [mm] f^x(r,\theta,\phi)*\ln(r^2), [/mm] was man sicher ausnutzen kann.
Und das Ergebnis ist bezüglich der Variablen [mm] r,\theta,\phi [/mm] anzugeben.
Du beziehst Dich einmal auf ein q' in den Variablen [mm] r,\theta,\phi [/mm] und gibst dann q' in x,y,z an. In diesem Kontext besteht zwischen den Variablensätzen eine funktionale Abhängigkeit, so dass die Verwendung des gleichen Funktionsbezeichners "q'" in unterschiedlichen Variablen zu einem Durcheinander führen kann.
Im übrigen hast Du [mm](\partial_xg,\partial_y g, \partial_z g)[/mm] hingeschrieben. Du sollst aber [mm](\partial_r(g\circ f),\partial_\theta (g\circ f), \partial_\phi(g\circ f))[/mm] hinschreiben und die oben erwähnten zwei Wege dazu:
[mm]\partial_r(g\circ f)=\partial_r h=...[/mm]
[mm]\partial_r(g\circ f)=(\partial_x g\circ f)*\partial_r f^x+(\partial_y g\circ f)*\partial_r f^y+(\partial_z g\circ f)*\partial_r f^z=...[/mm]
Und für den zweiten Weg kannst Du dann Dein Zwischenergebnis von oben benutzen...
LG
gfm
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