Koordinatengleichung Punkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Ich kann mir Koordinatengleichungen von Ebenen (z.b. x-y=0) von Geraden und von Kreisen vorstellen. Aber ich habe einfach keine Ahnung, wie ich von einem Punkt im dreidimensionalen Raum, nehmen wir P(4/5/-1), eine Koordinatenform erstellen kann.
Wenn ich sage x+y+9z=0 dann gilt wäre das keine Puntgleichung, denn nicht nur P sondern auch andere Punkte liegen darauf...
Wie zum Teufel kann ich also von unserem P eine Koordinatengleichung aufstellen??
Vielen Dank!
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> Hi!
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> Ich kann mir Koordinatengleichungen von Ebenen (z.b. x-y=0)
> von Geraden und von Kreisen vorstellen. Aber ich habe
> einfach keine Ahnung, wie ich von einem Punkt im
> dreidimensionalen Raum, nehmen wir P(4/5/-1), eine
> Koordinatenform erstellen kann.
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> Wenn ich sage x+y+9z=0 dann gilt wäre das keine
> Puntgleichung, denn nicht nur P sondern auch andere Punkte
> liegen darauf...
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> Wie zum Teufel kann ich also von unserem P eine
> Koordinatengleichung aufstellen??
Du kannst zwar nicht eine einzige lineare Gleichung in den Koordinaten $x,y,z$ aufstellen, dessen einzige Lösung der Punkt $P(4|5|-1)$ ist, aber Du kannst ein System von drei linearen Gleichungen in den Koordinaten aufstellen, die diese Eigenschaft haben: $x=5, y=5, z=-1$. Sehr nützlich dürfte diese Darstellung allerdings kaum sein.
Ein ähnliches Problem hast Du mit Geraden: es gibt auch keine einzelne lineare Gleichung in den Koordinaten $x,y,z$, deren Lösungsmenge eine gegebene Gerade (im dreidimensionalen Raum) ist. Aber Du kannst ein Gleichungssystem bestehend aus zwei linearen Gleichungen (deren Lösungmenge je eine Ebene ist) aufstellen, dessen Lösungsmenge die gegebene Gerade ist (die ist dann nämlich die Schnittmenge der beiden Ebenen die für sich je die Lösungsmengen der beiden linearen Gleichungen des Systems sind).
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Hm..
Sagen wir, wir haben
E: [mm] 21=x+2y+2z\,
[/mm]
K: [mm] 6=x^2+y^2+z^2-10x-2y+4z
[/mm]
Ich kann dir versichern, dass E die Kugel K in einem Punkt berührt. Dann müsste ich, wenn ich E mit K gleichsetze doch den Punkt rausbekommen.. und zwar in Koordinatenform !?
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> Hm..
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> Sagen wir, wir haben
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> E: [mm]21=x+2y+2z\,[/mm]
> K: [mm]6=x^2+y^2+z^2-10x-2y+4z[/mm]
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> Ich kann dir versichern, dass E die Kugel K in einem Punkt
> berührt. Dann müsste ich, wenn ich E mit K gleichsetze doch
> den Punkt rausbekommen..
Was Du erhältst, sofern Deine Behauptung zutrifft, ist einfach ein System von (linearen) Gleichungen [mm] $x=\ldots, y=\ldots, z=\ldots$, [/mm] wie ich geschrieben hatte. Dass Du bei diesem Beispiel mit zwei Gleichungen zur Bestimmung eines Punktes auskommst (statt drei linearen, wie ich behauptet hatte) liegt daran, dass es sich bei der Kugelgleichung eben um eine nicht-lineare Gleichung handelt.
> und zwar in Koordinatenform !?
"Der Punkt in Koordinatenform" ist meiner unmassgeblichen Meinung nach eine drollige Art sich auszudrücken: sag doch einfach, dass Du die Koordinaten des Punktes erhältst, der sowohl auf der Ebene als auch auf der Kugel liegt (Berührpunkt von Kugel und Ebene). Man spricht zwar verschiedentlich von einer "Vektorform" einer Ebene(etwa Normalenform oder Parameterform) oder einer "Koordinatenform" einer Ebene (eine einzige lineare Gleichung in den Koordinaten eines Punktes der Ebene). Aber "Punkt in Koordinatenform" oder "Gleichung eines Punktes in Koordinatenform" habe ich, ausser von Dir, nie gehört. Natürlich kannst Du versuchen, einen bestimmten Punkt auf beliebig abstruse Weise zu "kennzeichnen", aber worum es Dir dabei geht ist mir bisher nicht so recht klar geworden.
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also so langsam verstehe ich das glaube ich.
nur warum erhalte ich wenn ich K mit E gleichsetze ein System von Gleichungen (x=... y=... z=...) ?
E: [mm] 21=x+2y+2z\,
[/mm]
K: [mm] 6=x^2+y^2+z^2-10x-2y+4z
[/mm]
E: [mm] x=21-2y-2z\, [/mm] in K einsetzen:
K: [mm] 6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z
[/mm]
sagen wir, E berührt K im Punkt P(a/b/c)
dann hat [mm] 6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z
[/mm]
doch nur die einzige Lösung [mm] \IL={a,b,c} [/mm] oder nicht?
Somit ist doch diese Gleichung das, was ich mit "Koordinatenform eines Punktes" gemeint habe, oder nicht?
Ich erhalte beim gleichsetzen von K und E nicht ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen sondern eine einzige Gleichung:
K: [mm] 6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z
[/mm]
Ist das falsch?
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> also so langsam verstehe ich das glaube ich.
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> nur warum erhalte ich wenn ich K mit E gleichsetze ein
> System von Gleichungen (x=... y=... z=...) ?
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> E: [mm]21=x+2y+2z\,[/mm]
> K: [mm]6=x^2+y^2+z^2-10x-2y+4z[/mm]
>
> E: [mm]x=21-2y-2z\,[/mm] in K einsetzen:
> K: [mm]6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z[/mm]
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> sagen wir, E berührt K im Punkt P(a/b/c)
>
> dann hat [mm]6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z[/mm]
> doch nur die einzige Lösung [mm]\IL={a,b,c}[/mm] oder nicht?
Nein, diese Gleichung für sich alleine hat allenfalls die Lösung $y=b, z=c$ bzw. $(b,c)$. Den Wert von $a$ erhältst Du nur, wenn Du wieder zurück zur Gleichung von $E$ gehst.
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> Somit ist doch diese Gleichung das, was ich mit
> "Koordinatenform eines Punktes" gemeint habe, oder nicht?
>
> Ich erhalte beim gleichsetzen von K und E
Gleichsetzen von $K$ und $E$ hast Du nicht gemacht. Du hast die Gleichung von $E$ nach $x$ aufgelöst und dann in die Gleichung von $K$ eingesetzt.
> nicht ein
> Gleichungssystem aus 3 Gleichungen sondern eine einzige
> Gleichung:
> K: [mm]6=(21-2y-2z)^2+y^2+z^2-10(21-2y-2z)-2y+4z[/mm]
>
Wie gesagt, diese Gleichung, sofern sie nur eine einzige Lösung $(b,c)$ hat, gibt Dir nicht den Punkt $(a,b,c)$ sondern lediglich [mm] \ldots [/mm] eben: $y=b$ und $z=c$.
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Hm ok, das war blöd von mir..
E: [mm] 21=x+2y+2z\,
[/mm]
K: [mm] 6=x^2+y^2+z^2-10x-2y+4z
[/mm]
E: [mm] 42=2x+4y+4z\,
[/mm]
K: [mm] 42=7x^2+7y^2+7z^2-70x-14y+28z
[/mm]
Dann sage ich:
[mm] 2x+4y+4z=7x^2+7y^2+7z^2-70x-14y+28z
[/mm]
so, die Gleichung hat jetzt aber die Lösung [mm] \IL=\{a,b,c\}
[/mm]
und somit ist das ja die Punktegleichung ?!
Übrigens finde ich es toll, dass du dir soviel Mühe gibst, mir das zu erklären!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Funktionsgleichung gibt ja einen Zusammenhang zwischen Größen an.
im Koordinatensystem also wie sich etwa die x Koordinate ändert, wenn sich die y und z Koordinate ändern. deshalb hat ein Punkt KEINE Funktionsbeschriebung, den z hängt ja nicht irgendwie von x und y ab!
wenn du den Pkt (1,2,3) beschreiben willst ist er genau durch die Gleichungen x=1, y=2, z=3 beschrieben.
natürlich hat auch die Gleichung x+y+z=6 diese lösung, allerdings auch noch mehr.
ebenso x*y*z=6 und [mm] x^2+y^2+z^2=14 e^x+ey+e^z=30,192875 [/mm] Du kannst die Zahlen irgendwie addieren, multipl usw. und daraus ne Gleichung herstellen. Wenn du genug davon nimmst, kommt am Schluss wieder eindeutig der Punkt raus.
Es ist so, wie wenn du den Zusammenhang zwischen Stückzahl und Preis eines bestimmten Picassogemäldes unbedingt aufstellen willst. kannst du auch nicht, obwohl du so nen Zusammenhang zwischen einem und vielen Äpfeln kannst!
(übrigens: setz in deiner Gleichung x=1,y=1 und du kriegst ne Gl. für z. dann x=1,y=2 und du kriegst ein anderes z usw.)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Vielen Dank, dass Ihr euch soviel Mühe gegeben habt!
Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, ich lese es mir morgen aber nochmal ausführlicher durch und schreibe vielleicht noch was ;)
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