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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 21.03.2007 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Gerade d durch die Koordinatengleichung: 3x+5y-15=0. Bestimmen sie den Normalvektor, den Richtungsvektor und die Geradengleichung in Parameterform. |
Hallo !
Ich kann diese Aufgabe problemlos lösen, wenn ich die Gerade zeichne. Meine Frage ist : Gäbe es eine einfachere Art diese Aufgabe zu lösen, ohne sie zu zeichnen ? Ich bin sicher, dass man die Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln kann, aber ich habe keine Ahnung wie man es macht.
Danke
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Hallo Fernando,
jo du hast recht, das ist nicht allzu schwierig.
Du hast gegeben: Eine Gerade g in Koordinatendarstellung:
$g: 3x+5y-15=0$ , also genauso gut $g: 3x+5y=15$
Um eine Gerade in Parameterform [mm] $g:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\cdot{}\vec{u}$ [/mm] darzustellen, benötigst du einen Stützvektor [mm] $\vec{p}$ [/mm] und einen Richtungsvektor [mm] $\vec{u}$ [/mm] der Geraden: [mm] \vec{u} [/mm] ist sozusagen der Differenzvektor von [mm] \vec{0A} [/mm] und [mm] \vec{0B} [/mm] bzw. umgekehrt
Das können wir berechnen, indem wir zwei Punkte A und B auf g wählen und den Richtungsvektor [mm] \vec{\vec{OB}-\vec{0A}} [/mm] oder [mm] \vec{\vec{0A}-\vec{0B}} [/mm] berechnen
Nun suchen wir uns anhand der Koordinatendarstellung 2 möglichst einfache Punkte auf g aus: Dabei haben wir totale Freiheit in unserer Wahl
Nehmen wir zB. [mm] A=(x_1,y_1)=(5,0) [/mm] und [mm] B=(x_2,y_2)=(0,3)
[/mm]
A und B liegen ganz offensichtlich auf g.
Nehmen wir als Stützvektor [mm] \vec{p}=\vec{0A} [/mm] den Ortsvektor von 0 nach A und als Richtungsvektor [mm] \vec{\vec{OB}-\vec{0A}} [/mm] oder [mm] \vec{\vec{0A}-\vec{0B}}
[/mm]
[mm] \vec{\vec{0A}-\vec{0B}}=\vektor{5-0 \\ 0-3}=\vektor{5 \\ -3}:\vec{u}
[/mm]
(Für [mm] \vec{\vec{OB}-\vec{0A}} [/mm] bekommen wir [mm] \vektor{-5 \\ 3})
[/mm]
Also [mm] g_1:\vec{x}=\vektor{5 \\ 0}+\lambda\cdot{}\vektor{5 \\ -3 }
[/mm]
Hätten wir den Richtungsvektor in die andere Richtung genommen, so hätten wir erhalten:
[mm] g_2:\vec{x}=\vektor{5 \\ 0}+\mu\cdot{}\vektor{-5 \\ 3}
[/mm]
Da [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] alle reellen Zahlen durchlaufen, sind also auf beiden Geraden dieselben Punkte.
[mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] unterscheiden sich lediglich durch ihre "Gerichtetheit"
Hoffe, das war nicht zu unübersichtlich und einigermaßen verständlich
Gruß
schachuzius
PS: leider klappt das mit der Darstellung der Richtungsvektoren als Differenz der Ortsvektoren von 0 nach A und 0 nach B nicht wie gewünscht.
Der obere Pfeil soll über die gesamte Differenz gehen
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